Permutação - Menina Ruthe

Exemplos de Permutação

01) Com as vogais: A, E, I , O e U quantas permutações podem ser formadas contendo as letras A, E e I?

Solução:

n = 5 e r = 3.

Com A, E, I: 3! = 6
A, E, I com O: 4! =24
A, E, I com U: 4! = 24
A, E, I com O e U: 5! = 120
Total 6 + 24 + 24 +1 20 = 174.

02) De quantas maneiras 7 garotas podem sentar-se num banco que tem apenas 7 lugares?

Solução:

P₇ = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 maneiras

03) Consideremos um conjuntos com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?

Solução:

P_n = (n-1)!

04) De quantas formas 5 podem ficar em fila indiana?

Solução:

P₅ = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 formas

05) Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL?

Solução:

Total de letras distintas: 9

Portanto: P₉ = 9! = 9 x 8 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 permutações

06) Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL, que começam por A?

Solução:

Fixando o A, restam 8 posições para as outras letras:

 P₈ = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 40.320 permutações

07) Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL, que começam por UNI?

Solução:

Considerando UNI como uma só letra, restam seis: VERSAL

P₆ = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 permutações

08) Quantos são os anagramas da palavra ALGÉBRICO, que começam por vogal?

Solução:

Total de letras: 9

A palavra tem 4 vogais: A- E - I- O . Colocando uma vogal no início, sobram 8 posições para as restantes da letras: P₈ = 8!= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 anagramas

09) Quantos anagramas têm as palavras: Itatiaia e Matemática?

Solução:

Há letras repetidas: 3 i , 3a,2t e 3i para Itatiaia, 2m , 3a e 2t para Matemática.

Então, temos permutação com repetição.

 

10)  Com relação a palavra MÁGICO:

a) Quantos anagramas existem?

b) Quantos anagramas começam por M?

c) Quantos anagramas começam por M e terminam com O?

d) Quantos anagramas começam por vogal?

e) Quantos anagramas têm as vogais juntas?

Solução:

a) Cada anagrama é formado pela permutação das letras da palavra M, A G, I, C, O. Portanto o número procurado é: P₆ = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

b) Colocando M na primeira posição, sobram 5 letras para serem permutadas:

P₅ = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120

c) Colocando M na primeira posição e O na última, sobram 4 letras para serem permutadas:

P₄ = 4! = 4 x  3 x 2 x 1 = 24

d) Temos o seguinte:

Vogal na primeira posição:

A - sobram 5 letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120

I -  sobram 5 letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120

O - sobram 5 letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120

Dessa forma: 120 + 120 + 120 = 360 anagramas

e) Se as vogais A, I, O devem estar juntas, então elas funcionam com se fossem “uma letra” que deve ser permutada com M, G e C. Desse modo: P₄ = 4! = 4 x  3 x 2 x 1 = 24

Porém, em cada uma dessas permutações, as vogais podem se permutar entre si:

P₃ =3! = 3 x 2 x 1 = 6 formas. Portanto o total, aqui, de anagramas é: 6 x 24 = 144

11) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem juntas?

Solução:

·      Tomando três pessoa como uma única, por exemplo, ABC = X. Não esquecer que de devemos permutar ABC: P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

·      Retirando 1 pessoa das  três: 3 – 1 =2

·      Retirando 3 pessoas de 9 → 9 – 3 = 6 e 9 – 2 = 7

·      Portanto: P₇ x P₆ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 3.628.800 modos

12) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem afastadas o mais possível?

Solução:

·      Três pessoas afastadas→ 9 – 3 = 6

·      Então: P₆ x P₃ = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 4.320 modos

13) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem sentadas nas cadeiras centrais?

Solução:

·      Três pessoas afastadas→ 9 – 3 = 6

·      Então: P₆ x P₃ = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 4.320 modos

14) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em cadeiras colocadas em linha, estando duas determinadas pessoas em posições extremas?

Solução:

·      Duas pessoas sentadas em duas cadeiras→ 9- 2 = 7 e 9 – 2 = 7

·      Portanto: 2 x P₇ = 2 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10.080 modos

15) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começa podemos formar?

Solução:

·      Tomemos, por exemplo: A-E-I-O-U e B-C-D

·      Total de letras: 4 + 3 = 7

Portanto: P₇ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040disposições

16) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por uma determinada vogal, podemos formar?

Solução:

·      Total de letras: 4 + 3 = 7

·      Escolhendo uma vogal: 7 – 1 = 6

Portanto: P₆ = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =720 disposições

17) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por  vogais existem?

Solução:

·      Há 4 possibilidades para a 1ª casa (A-E-I-O-U)

·      Colocando uma vogal restam: 7 – 1= 6 letras

·      Há 3 possibilidades de se colocar consoantes na 2ª casa

Portanto: 3 x P₆ = 3 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2.160 disposições

18) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por  certa vogal e terminadas por determinada consoante existem?

Solução:

·      Escolhendo,  por exemplo, A e B→7 – 2 = 5

·      P₅ = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 disposições

·      Podemos raciocinar, também, assim:

a)    Colocando uma vogal no início e um consoante no final: 

1V

1C

1    x  5   x  4   x   3 x  2  x  1  x 1 = 120

19) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras  podem ser formadas, sabendo que as vogais ocupam sempre as 3 primeiras posições?

Solução:

·      Total de letras: 4 + 3 = 7

·      Retirando 3 vogais: 7 – 3 = 4 letras

·      Tomando por exemplo, 3 vogais aleatoriamente: A-E-I

A

E

I

4

3

2

1

·      Portanto: P₃ x P₄ = 6 x 24 = 144 disposições

20) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, com duas determinadas vogais justapostas, podemos formar?

Solução:

·      Considerando as duas vogais como uma única vogal, por exemplo, AE = X, restam→ 7 – 1 = 6 letras;

·      No entanto, as vogais podem permuta-se entre s: AE→EA→ P₂

AE
EA

·      Portanto: P2 x P6 = 2 x 720 = 1.440 disposições

21)  Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por  certa vogal e terminadas por  consoante podemos formar?

Solução:

·      Para a primeira posição temos 3 possibilidades, por exemplo, B-C-D;

·      Para a última posição temos 4 possibilidades: A-E-I-O-U

·      Colocando 1 consoante na primeira posição e uma vogal na última, restam: 7 – 2 = 5 letras para ser distribuídas.

·      Portanto: 3 x P₅ X 4 = 3 x 120 x 4 = 1.440 disposições

22) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas com vogais e consoantes intercaladas podemos formar?

Solução:

V

C

V

C

V

C

V

·      Vogais: P₄

·      Consoantes: P₃

·      Portanto: P₄ x P₃ = 24 x 6 = 144 disposições

23) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas com vogais e consoantes intercaladas podemos formar, sabendo que determinada vogal sempre será colocada depois de certa consoante?

Solução:

·      Sempre haverá o par consoante- vogal, por exemplo, BA;

·      Observe que BA pode se repetir, uma vez que não há restrição para isso;

·      Primeiro façamos a permutação do total de letras: P₇ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 5.040

·      Mas foram contados repetidamente os pares BA, portanto devemos dividir P₇ por 2

·       5.040 5 ÷ 2 = 2.520 disposições

24) Com 4 consoantes e 3 vogais, quantas disposições de sete letras podem ser formadas com duas consoantes nas duas últimas posições e com as demais vogais e consoantes intercaladas?

Solução:

V

C

V

C

V

C

C

·      2 consoantes: P₂ = 2 x 1 = 2

·      Temos 4 consoantes e 3 vogais→4 x 3 =

·      Portanto: 12 x P₄ x P ₂ = 12 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 144 disposições

25) Com 4 consoantes e 3 vogais, quantas disposições de sete letras distintas  podem ser formadas, sabendo que , sempre duas consoantes são seguidas por 3 vogais e estas, de novo seguidas por duas consoantes?

Solução:

C

C

V

V

V

C

C

·      Portanto: P₄ x P₃ = 4 x 3 x 2 x1 x 3 x 2 x 1 = 144 disposições

26) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa?

·      Elementos: Elementos: ❶, ❷, ❸, ❹,,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas

Solução:

·      P₉ = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 modos 

27) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que as de números 5 e 6 saiam juntas?

Solução:

·      Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas

·      Considerando ❺ e ❻uma única bola → 9 – 1 = 8

·      Portanto: P₈ = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 modos diferentes

28) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que a de número 7 seja a primeira a ser retirada?

Solução:

·      Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas

·      Sacando a ficha de nº ❼, restam → 9 – 1 = 8

·      Portanto: P₈ = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 modos diferentes

29) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa, de modo que a de número 6 seja retirada antes da de número 8?

Solução:

·      Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas

·      ❻ antes da bola ❽ → ❻ e ❶, ❻ e ❷, por exemplo. Sempre vai ocorrer o par ❻ e outra bola que não seja a bola ❽, portanto: P₉/2 = 362.880 ÷ 2= 181.440  maneiras

30) Qual a soma dos produtos obtidos de todas as multiplicações dos fatores 2, 3, 4, 5, em que o 1º fator é o 2?

Solução:

·      A ordem dos fatores não altera o produto;

·      O fator 2 sempre virá primeiro, portanto:

2 x 3 x 4 x 5 = 120

2 x 4 x 3 x 5 = 120

2 x 5 x 4 x 3 = 120

·      Veja que o fator 2 se repete por 3 vezes: P₃

·      P₃ x 120 = 24 x 120 = 2.880

31) Qual a soma das multiplicações de todos os produtos dos fatores 2, 3, 4, 5?

Solução:

·      2 x ....

·      3 x ....

·      4 x ...

·      5x ....

·      Temos 4 multiplicações utilizando todos os algarismos do problema.

·      O produto ser á sempre 120, portanto: P₄ x 120  = 24 x 120 = 2.880

32) Qual a soma das multiplicações de todos os produtos dos fatores 2, 3, 4, 5, em que os fatores 3 e 4 ocupam, nessa ordem, as duas primeiras posições?

Solução:

·      Elementos: {2, 3, 4, 5} = 4 elementos;

·      Considerando 3 e 4 como um único algarismo: {2, 34, 5} = 3 elementos

·      O produto ser á sempre 120, portanto: P₃ x 120  = 12 x 120 = 1.440

33) Qual a soma dos números de 6 algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Solução:

·      A forma genérica de um número com 6 algarismos diferentes é: ABCDEF

·      Valor posicional do 1:

a) 1BCDEF = 100.000

b) A1CDEF = 10.000

c) AB1DEF = 1.000

d) ABC1EF = 100

e) ABCD1F = 10

f) ABCDE1 =  1

·      P_{(6 – 1)!} = P₅ = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120

·      0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

·      100.000 + 10.000 + 1.000 + 100 + 10 +1 = 111.111

·      Portanto: 120 x 15 x 111.111 = 199.999.800

34) Qual a soma dos números de 5 algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5?

Solução:

·      A forma genérica de um número com 6 algarismos diferentes é: ABCDE

·      Valor posicional do 1:

a) 1BCDE = 10.000

b) A1CDE = 1.000

c) AB1DE = 100

d) ABC1E = 10

e) ABCD1 = 1

·      P_{(5– 1)!} = P₄ =  4 x 3 x 2 x 1 = 24

·       1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

·      10.000 + 1.000 + 100 + 10 +1 = 11.111

·      Portanto: 24 x 15 x 11.111 = 3.999.960

35) Qual a soma de todos os algarismos dos números formados pelas permutações simples dos algarismos significativos?

Solução:

·      Números significativos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 9 →P₉ = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880

·      1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

·      Portanto:  45 x 362.880 = 16.329.600

36) Qual a soma dos números pares de 5 algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7?

Solução:

·      Para serem pares, nesse caso, devem terminar em 2 – 4 – 6 = 3 algarismos

·      1 + 2 + 4 + 6 + 7  = 20

·      P_{(5– 1)!} = P₄ =  4 x 3 x 2 x 1 = 24

·      Portanto:  3 x 20 x 24 = 1.440 

37) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 4, 6, 8, que lugar ocupa o número 68.412?

Solução:

O número será preenchido de:

·      1xxxx  → P₄

·      2xxxx  → P₄

·      4xxxx  → P₄

·      61xxx  → P₃

·      62xxx  → P₃

·      64xxx  → P₃

·      681xx  → P₃

·      682xx  → P₂

Portanto: 3 x P₄ x 3 x P₃ 2 x P₂ =  3 x 24 + 3 x 6 + 2 x 2 = 72 + 18 + 4 = 94

O número seguinte é 68.412 que ocupa a 94 + 1 = 95ª posição

38) Escritos em ordem crescente os números formados pelas permutações simples dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número 43.512?

Solução:

O número será preenchido de:

·      1xxxx  → P₄

·      2xxxx  → P₄

·      3xxxx  → P₄

·      41xxx  → P₃

·      42xxx  → P₃

·      431xx  → P₂

·      432xx  → P₂

Portanto: 3 x P₄ x 2 x P₃ 2 x P₂ =  3 x 24 + 2 x 6 + 2 x 2 = 72 + 12 + 4 = 88

O número seguinte é 43.512 que ocupa a 88 + 1 = 89ª posição

39) Permutando-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números em ordem crescente. Determine:

a) Que lugar ocupa o número 62.417?

b) Que número ocupa o 66º lugar?

Solução:

a) O número será preenchido de:

·       1xxxx  → P4

·       2xxxx  → P4

·       4xxxx  → P4

·       61xxx  → P3

·      621xx  → P2

Portanto: 3 x P₄ x P₃ x  P₂ =  3 x 24 + 6 + 2 = 72 + 8  = 80

O número seguinte é 62.417 que ocupa a 80 + 1 = 81ª posição

b) Contando os números

Começados por:	Quantidade:	Acumulado:
1	P4 = 24	1 x 24 = 24
2	P4 = 24	2 x 24 = 48
41	P3 = 6	48 + 6 = 54
42	P3 = 6	54 + 6 = 60
46	P3 = 6	60 + 6 = 66

O último e maior número começa por 46, portanto: 46.721

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