Exemplos de Permutação
01) Com as vogais: A, E, I , O e U quantas permutações podem
ser formadas contendo as letras A, E e I?
Solução:
n = 5 e r = 3.
Com A, E, I: 3! = 6
A, E, I com O: 4! =24
A, E, I com U: 4! = 24
A, E, I com O e U: 5! = 120
Total 6 + 24 + 24 +1 20 = 174.
02) De quantas maneiras 7 garotas podem sentar-se num banco
que tem apenas 7 lugares?
Solução:
P7 = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 maneiras
03) Consideremos um conjuntos com n letras. Quantas
permutações começam por uma determinada letra?
Solução:
Pn =
(n-1)!
04) De quantas formas 5 podem ficar em fila indiana?
Solução:
P5 =
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 formas
05) Determinar o número de permutações da palavra UNIVERSAL?
Solução:
Total de letras distintas: 9
Portanto: P9 = 9! = 9 x 8 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1 = 362.880 permutações
06) Determinar o
número de permutações da palavra UNIVERSAL, que começam por A?
Solução:
Fixando o A, restam 8 posições para as outras letras:
P8 = 8! =
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 40.320
permutações
07) Determinar o
número de permutações da palavra UNIVERSAL, que começam por UNI?
Solução:
Considerando UNI como uma só letra, restam seis: VERSAL
P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 permutações
08) Quantos são os anagramas da palavra ALGÉBRICO, que
começam por vogal?
Solução:
Total de letras: 9
A palavra tem 4 vogais: A- E - I- O . Colocando uma vogal no
início, sobram 8 posições para as restantes da letras: P8 = 8!= 8 x
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320
anagramas
09) Quantos anagramas têm as palavras: Itatiaia e
Matemática?
Solução:
Há letras repetidas: 3
i , 3a,2t e 3i para Itatiaia, 2m ,
3a e 2t para Matemática.
Então, temos permutação com repetição.
10) Com relação a
palavra MÁGICO:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas começam por M?
c) Quantos anagramas começam por M e terminam com O?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas têm as vogais juntas?
Solução:
a) Cada anagrama é formado pela permutação das letras da
palavra M, A G, I, C, O. Portanto o
número procurado é: P6 =
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
b) Colocando M na primeira posição, sobram 5 letras para
serem permutadas:
P5 =
5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
c) Colocando M na primeira posição e O na última, sobram 4
letras para serem permutadas:
P4 =
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
d) Temos o seguinte:
Vogal na primeira posição:
A - sobram 5
letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
I - sobram 5 letras para serem permutadas: P5 =
5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
O - sobram 5
letras para serem permutadas: P5 = 5! = 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 120
Dessa forma: 120 + 120 + 120 = 360 anagramas
e) Se as vogais A, I,
O devem estar juntas, então elas funcionam com se fossem “uma letra” que
deve ser permutada com M, G e C. Desse modo: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Porém, em cada uma dessas permutações, as vogais podem se
permutar entre si:
P3 =3! = 3 x 2 x 1 = 6 formas. Portanto o total, aqui, de anagramas é: 6 x 24 = 144
11) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras
colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem juntas?
Solução:
·
Tomando três pessoa como uma única, por exemplo,
ABC = X. Não esquecer que de devemos permutar ABC: P3 = 3! = 3 x 2 x
1 = 6
·
Retirando 1 pessoa das três: 3 – 1 =2
·
Retirando 3 pessoas de 9 → 9 – 3 = 6 e 9 – 2 = 7
·
Portanto: P7 x P6 = 7 x 6
x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 3.628.800 modos
12)
De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha,
de modo que 3 determinadas pessoas fiquem afastadas
o mais possível?
Solução:
·
Três pessoas afastadas→ 9 – 3 = 6
·
Então: P6 x P3 = 6 x 5 x 4
x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 4.320 modos
13) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras
colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem sentadas nas cadeiras centrais?
Solução:
·
Três pessoas afastadas→ 9 – 3 = 6
·
Então: P6 x P3 = 6 x 5 x 4
x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 4.320 modos
14) De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em cadeiras
colocadas em linha, estando duas determinadas pessoas em posições extremas?
Solução:
·
Duas pessoas sentadas em duas cadeiras→ 9- 2 = 7
e 9 – 2 = 7
·
Portanto: 2 x P7 = 2 x 7 x 6 x 5 x 4
x 3 x 2 x 1 = 10.080 modos
15) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete
letras distintas, começa podemos
formar?
Solução:
·
Tomemos, por exemplo: A-E-I-O-U e B-C-D
·
Total de letras: 4 + 3 = 7
Portanto: P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040disposições
16) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete
letras distintas, começadas por uma
determinada vogal, podemos formar?
Solução:
·
Total de letras: 4 + 3 = 7
·
Escolhendo uma vogal: 7 – 1 = 6
Portanto: P6 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =720 disposições
17) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete
letras distintas, começadas por vogais existem?
Solução:
·
Há 4 possibilidades para a 1ª casa (A-E-I-O-U)
·
Colocando uma vogal restam: 7 – 1= 6 letras
·
Há 3 possibilidades de se colocar consoantes na
2ª casa
Portanto: 3 x P6 = 3 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2.160 disposições
18) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete
letras distintas, começadas por certa vogal e terminadas por determinada
consoante existem?
Solução:
·
Escolhendo,
por exemplo, A e B→7 – 2 = 5
·
P5
= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 disposições
·
Podemos raciocinar, também, assim:
a)
Colocando uma vogal no início e um consoante
no final:
1 x
5 x 4
x 3 x 2
x 1 x 1 = 120
19) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete
letras podem ser formadas, sabendo que as vogais
ocupam sempre as 3 primeiras posições?
Solução:
·
Total de letras: 4 + 3 = 7
·
Retirando
3 vogais: 7 – 3 = 4 letras
·
Tomando por exemplo, 3 vogais aleatoriamente:
A-E-I
·
Portanto:
P3 x P4 = 6 x 24 = 144 disposições
20) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas
disposições de sete letras distintas, com
duas determinadas vogais justapostas, podemos
formar?
Solução:
·
Considerando as duas vogais como uma única
vogal, por exemplo, AE = X, restam→ 7 – 1 = 6 letras;
·
No entanto, as vogais podem permuta-se entre s:
AE→EA→ P2
·
Portanto: P2 x P6 = 2 x 720 = 1.440 disposições
21) Com 4 vogais e 3
consoantes, quantas disposições de sete letras distintas, começadas por
certa vogal e terminadas por
consoante podemos formar?
Solução:
·
Para a primeira posição temos 3 possibilidades,
por exemplo, B-C-D;
·
Para a última posição temos 4 possibilidades:
A-E-I-O-U
·
Colocando 1 consoante na primeira posição e uma
vogal na última, restam: 7 – 2 = 5 letras para ser distribuídas.
·
Portanto: 3 x P5 X 4 = 3 x 120 x 4 = 1.440 disposições
22) Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete
letras distintas com vogais e consoantes intercaladas podemos formar?
Solução:
·
Vogais: P4
·
Consoantes: P3
·
Portanto: P4 x P3 = 24 x 6
= 144 disposições
23) Com 4 vogais
e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas com vogais e consoantes
intercaladas podemos formar, sabendo que determinada vogal sempre será colocada depois de certa consoante?
Solução:
·
Sempre haverá o par consoante- vogal, por
exemplo, BA;
·
Observe que BA pode se repetir, uma vez que não
há restrição para isso;
·
Primeiro façamos a permutação do total de
letras: P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 5.040
·
Mas foram contados repetidamente os pares BA,
portanto devemos dividir P7 por 2
·
5.040 5 ÷
2 = 2.520 disposições
24)
Com 4 consoantes e 3 vogais, quantas disposições de sete letras podem ser
formadas com duas consoantes nas duas últimas posições e com as demais vogais e
consoantes intercaladas?
Solução:
·
2 consoantes: P2 = 2 x 1 = 2
·
Temos 4 consoantes e 3 vogais→4 x 3 =
·
Portanto: 12 x P4 x P 2 =
12 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 = 144
disposições
25) Com 4 consoantes e 3 vogais, quantas
disposições de sete letras distintas podem ser formadas, sabendo que , sempre duas
consoantes são seguidas por 3 vogais e estas, de novo seguidas por duas
consoantes?
Solução:
·
Portanto: P4 x P3 = 4 x 3
x 2 x1 x 3 x 2 x 1 = 144 disposições
26) De quantos modos diferentes podemos sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9
fichas numeradas de 1 a 9, colocadas numa caixa?
·
Elementos: Elementos: ❶, ❷, ❸, ❹,,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
Solução:
·
P9 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1 = 362.880 modos
27)
De quantos modos diferentes podemos
sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9,
colocadas numa caixa, de modo que as de números 5 e 6 saiam juntas?
Solução:
·
Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
·
Considerando ❺ e ❻uma única bola → 9 – 1 = 8
·
Portanto: P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3
x 2 x 1 = 40.320 modos diferentes
28)
De quantos modos diferentes podemos
sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9,
colocadas numa caixa, de modo que a de número 7 seja a primeira a ser retirada?
Solução:
·
Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
·
Sacando a ficha de nº ❼, restam → 9 – 1 = 8
·
Portanto: P8 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3
x 2 x 1 = 40.320 modos diferentes
29)
De quantos modos diferentes podemos
sacar sucessivamente, uma a uma, todas as 9 fichas numeradas de 1 a 9,
colocadas numa caixa, de modo que a de número 6 seja retirada antes da de número 8?
Solução:
·
Elementos: Elementos: ❶, ❷ , ❸, ❹, ❺,❻,❼,❽,❾ = 9 bolas numeradas
·
❻ antes
da bola ❽ → ❻ e ❶, ❻ e ❷, por exemplo. Sempre vai ocorrer o par ❻ e outra bola
que não seja a bola ❽, portanto: P9/2
= 362.880 ÷ 2= 181.440 maneiras
30)
Qual a soma dos produtos obtidos de todas as multiplicações dos fatores 2, 3,
4, 5, em que o 1º fator é o 2?
Solução:
·
A ordem dos fatores não altera o produto;
·
O fator 2 sempre virá primeiro, portanto:
2
x 3 x 4 x 5 = 120
2
x 4 x 3 x 5 = 120
2
x 5 x 4 x 3 = 120
·
Veja que o fator 2 se repete por 3 vezes: P3
·
P3 x 120 = 24 x 120 = 2.880
31) Qual a soma
das multiplicações de todos os produtos dos fatores 2, 3, 4, 5?
Solução:
·
2 x ....
·
3 x ....
·
4 x ...
·
5x ....
·
Temos 4 multiplicações utilizando todos os
algarismos do problema.
·
O produto ser á sempre 120, portanto: P4
x 120 = 24 x 120 = 2.880
32) Qual a soma das multiplicações de todos os produtos dos
fatores 2, 3, 4, 5, em que os fatores 3 e 4 ocupam, nessa ordem, as duas primeiras posições?
Solução:
·
Elementos: {2, 3, 4, 5} = 4 elementos;
·
Considerando 3 e 4 como um único algarismo: {2, 34, 5} = 3
elementos
·
O produto ser á sempre 120, portanto: P3
x 120 = 12 x 120 = 1.440
33)
Qual a soma dos números de 6 algarismos diferentes que podem ser formados com
os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Solução:
·
A forma genérica de um número com 6 algarismos
diferentes é: ABCDEF
·
Valor posicional do 1:
a) 1BCDEF = 100.000
b) A1CDEF = 10.000
c) AB1DEF
= 1.000
d) ABC1EF = 100
e) ABCD1F = 10
f) ABCDE1 = 1
·
P(6
– 1)! = P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120
·
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
·
100.000 + 10.000 + 1.000 + 100 + 10 +1 = 111.111
·
Portanto: 120 x 15 x 111.111 = 199.999.800
34)
Qual a soma dos números de 5 algarismos diferentes que podem ser formados com
os algarismos 1, 2, 3, 4, 5?
Solução:
·
A forma genérica de um número com 6 algarismos
diferentes é: ABCDE
·
Valor posicional do 1:
a) 1BCDE = 10.000
b) A1CDE = 1.000
c) AB1DE =
100
d) ABC1E = 10
e) ABCD1 = 1
·
P(5–
1)! = P4 = 4 x 3 x
2 x 1 = 24
·
1 + 2 + 3
+ 4 + 5 = 15
·
10.000 + 1.000 + 100 + 10 +1 = 11.111
·
Portanto: 24 x 15 x 11.111 = 3.999.960
35)
Qual a soma de todos os algarismos dos números formados pelas permutações
simples dos algarismos significativos?
Solução:
·
Números significativos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 = 9 →P9 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880
·
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
·
Portanto:
45 x 362.880 = 16.329.600
36) Qual a soma dos números pares de 5 algarismos diferentes
que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7?
Solução:
·
Para serem pares, nesse caso, devem terminar em
2 – 4 – 6 = 3 algarismos
·
1 + 2 + 4 + 6 + 7 = 20
·
P(5–
1)! = P4 = 4 x 3 x
2 x 1 = 24
·
Portanto:
3 x 20 x 24 = 1.440
37) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números
que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 4, 6, 8, que lugar ocupa o número
68.412?
Solução:
O número será preenchido de:
·
1xxxx → P4
·
2xxxx → P4
·
4xxxx → P4
·
61xxx → P3
·
62xxx → P3
·
64xxx → P3
·
681xx → P3
·
682xx → P2
Portanto: 3 x P4 x 3 x P3
2 x P2 = 3 x 24 + 3 x 6 + 2 x
2 = 72 + 18 + 4 = 94
O
número seguinte é 68.412 que ocupa a
94 + 1 = 95ª posição
38)
Escritos em ordem crescente os números formados pelas permutações simples dos
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posição ocupará o número 43.512?
Solução:
O número será preenchido de:
·
1xxxx → P4
·
2xxxx → P4
·
3xxxx → P4
·
41xxx → P3
·
42xxx → P3
·
431xx → P2
·
432xx → P2
Portanto: 3 x P4 x 2 x P3
2 x P2 = 3 x 24 + 2 x 6 + 2 x
2 = 72 + 12 + 4 = 88
O
número seguinte é 43.512 que ocupa a
88 + 1 = 89ª posição
39)
Permutando-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se
os números em ordem crescente. Determine:
a)
Que lugar ocupa o número 62.417?
b)
Que número ocupa o 66º lugar?
Solução:
a) O número será preenchido de:
·
1xxxx → P4
·
2xxxx → P4
·
4xxxx → P4
·
61xxx → P3
·
621xx → P2
Portanto: 3 x P4 x P3
x P2 = 3 x 24 + 6 + 2 = 72 + 8 = 80
O
número seguinte é 62.417 que ocupa a
80 + 1 = 81ª posição
b) Contando os números
Começados por:
|
Quantidade:
|
Acumulado:
|
1
|
P4
= 24
|
1
x 24 = 24
|
2
|
P4
= 24
|
2
x 24 = 48
|
41
|
P3
= 6
|
48
+ 6 = 54
|
42
|
P3
= 6
|
54
+ 6 = 60
|
46
|
P3
= 6
|
60
+ 6 = 66
|
O
último e maior número começa por 46, portanto: 46.721
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