O Princípio do Pombal por Menina Ruthe

         Pesquisando, eu encontrei uma coisa muito interessante para resolver certo problemas de Matemática O Princípio do Pombal - Dirichelet.




         Vamos imaginar que em uma praça há 23 pombos.

       Um pneu de um carro estoura, há uma revoada de pombos. Todos fogem em direção a um pombal próximo da praça com 22 buracos.

         Hipótese:

         1) Considerando que cada pombo vai ocupar um lugar específico. Se houvesse apenas 22 pombos, cada um ocuparia apenas um buraco.

         2) No entanto há 23 pombos, logo o pombo da sobra vai ocupar um lugar com outro pombo, ou seja, haverá pelo menos um buraco ocupado por dois pombos.

         Então a quantidade p de pombos será (p-1) buracos, como um deles será ocupado por dois pombos, temos p pombos distribuídos em b buracos, onde p> b

         Qp = [( p-1)/b] + 1

       

Aplicação do Princípio

    

      1) Cem pessoa estão presente num festa, quantas delas, pelos menos, fazem aniversário no mesmo mês?

Solução:

Pombos = Pessoas

Buracos = meses do ano

Qp = [ ( 100 -1)/12] + 1 =  99/12 +1 = 111/12 = 9,25

Resposta.: Existem, pelo menos 9 pessoas que aniversariam no mesmo mês

       2) Para se garantir que, em uma sala de aula, haja pelo menos 6 pessoas que aniversariam no mesmo mês, é necessário que existam, no mínimo:

Solução:

Solução:

Pombos = Pessoas

Buracos = meses do ano

Hipótese:

Se fossem 60 pessoas, teríamos: 60/12 = 5 pessoa aniversariando no mesmo mês, no entanto o problema diz "no mínimo 6 pessoas", então : 60 + 1 = 61 pessoas

Resposta.: 61 pessoas

Qp = [( 61-1)/12] + 1 =  60/12 +1 = 5 + 1 = 6

     3)  Quantos convidados estão numa festa, dado que existem pelo menos 2 pessoas que aniversariam no mesmo mês?

Solução:

Hipótese:

Se fossem 12 pessoas, apenas uma pessoa aniversaria em uma data x, no entanto o problema diz "no mínimo 2 pessoas", então: 12 x 1 + 1 = 12 + 1 = 13

Resposta.: 13 pessoas

Qp = [( 13-1)/12] + 1 =  12/12 +1 = 1 + 1 = 2

     4) Quantos alunos devemos ter em uma sala para garantirmos que dois obtiveram a mesma nota em um exame de 0 a 100?

Solução: Neste caso, as casas serão representadas pelas notas que variam de 0 a 100, logo teremos 101 casas. Os pombos serão representados pelos alunos. Se considerarmos que pelo menos 1 aluno tirou uma das notas, teremos um total de 101 alunos. Acrescentando mais um aluno, esse terá que tirar umas das notas, ou seja, podemos garantir que pelo menos dois alunos tirem a mesma nota. Portanto devemos ter 102 alunos.

     5) Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês?

Solução: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês.

     6) Existem N pessoas em uma sala. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza de que 3 nasceram no mesmo mês?

Solução: Pelo princípio da casa dos pombos: (12*2)+1 = 25 pessoas. Existem 12 meses, então se pegarmos 24 pessoas, pode ser que não existam 3 pessoas que nasceram no mesmo mês. Ao adicionar mais uma pessoa, termos certeza de que ela nasceu no mesmo mês que pelo menos outras 2 presentes na sala.

    7) Mostre que em um grupo de 40 pessoas, pelo menos 4 pessoas têm o mesmo signo.

Solução: De fato, fazendo a divisão com resto de 40 por 12 temos que 40 = 12 3 + 4. Colocando cada pessoa (pombo) na casa do seu signo, temos N = 12 e k = 3. Logo, pelo menos uma casa conterá k + 1 = 3 + 1 = 4 pessoas.

     8) Quantas rolagens de dado (um dado de 6 faces) são necessárias para se ter certeza que um mesmo número vai cair duas vezes?

Solução: Bem, vamos ver pela “pior” das hipóteses: na “pior” das hipóteses, se jogarmos o dado 6 vezes, teremos os números (não necessariamente nesta ordem): 3, 5, 6, 1, 2 e 4. O que acontece se jogarmos o dado mais uma vez?

Vai cair um número igual a outro já rolado.

Conclusão: Como temos 6 possibilidades, se jogarmos o dado 6 + 1 vezes, teremos um número que se repete mais do que uma vez. Esse  processo pode ser simplificado se você se lembrar do princípio da casa dos pombos.

     10) Uma sacola contém 3 tipos de bolas (azul, vermelha, amarela). Quantas bolas no mínimo devemos retirar da sacola para garantirmos que temos duas bolas da mesma cor?

Solução: Escolhemos 3 casas: casa 1 serão colocadas as bolas azuis, casa 2 as bolas vermelhas e casa 3 as bolas amarelas. Neste caso cada pombo é representado por cada bola. Distribuindo uma bola de cada cor nas suas respectivas casas, teremos retiradas 3 bolas. Retirando a quarta bola, que pode ser de qualquer cor, e colocando em uma das 3 casas, conseguimos, no mínimo, uma casa com duas bolas, isto é, duas bolas de mesma cor. Portanto, precisamos retirar no mínimo 4 bolas para garantirmos que temos duas bolas de mesma cor.

     11) Numa floresta crescem 1.000 jaqueiras. É conhecido que uma jaqueira não contém mais do que 600 frutos. Prove que existem 2 jaqueiras na floresta que têm a mesma quantidade de frutos.

Solução: Temos 1.000 jaqueiras, representando os pombos, e 601 casas identificadas pelos números 0; 1; 2; 3; … ; 600. O número k associado a cada casa significa que nela serão colocadas jaqueiras que têm exatamente k frutos. Como 1000 > 602 = 601 + 1, o PCP nos garante que existem duas jaqueiras com a mesma quantidade de frutos. Como existem mais pombos do que casas, pelo menos dois pombos tem que estar na mesma casa. Se dois pombos estão na mesma casa, isto significa que eles tem o mesmo numero de frutos.

Menina Ruthe