Análise Combinatória II

01)  Quantos são os números de quatro algarismos formados com os algarismos de 0 a 7 divisíveis por 5?

Solução:

·         Elementos : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 8

·         Para a última casa temo duas possibilidades : 0 – 5

·         Terminando em 0 : 7 x 6 x 5 x 1 = 210 ®{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 7

·         Terminando em 5 : 6 x 6 x 5 x 1 = 180 ®{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = 6

Portanto: 210 + 180= 390

02)  De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha?

Solução:

P₉ = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 modos

03)   De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem sempre juntas?

Solução:

Escolhendo três pessoas como uma única pessoa, por exemplo, ABC = X pessoa, mas observe que podemos permutar: BCA. Portanto 2! = 2

9 – 3 = 6 e 9 – 2 = 7

P₇ x P₆ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 x 720 = 3.628.800 modos.

04)  De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem afastadas o mais possível?

Solução:

9 – 3 = 6

P₆ x P₃ = 6! X 3! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 x 3 x 2 x1 = 4320

05)  De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que 3 determinadas pessoas fiquem sentadas nas cadeiras centrais?

Solução:

9 – 3 = 6

P₆ x P₃ = 6! X 3! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 x 3 x 2 x1 = 4320

06)  De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, estando duas determinadas pessoas em posições extremas?

 Solução:

 9 – 2  = 7 e 9 – 2 = 7

 Portanto:

2 . P₇ = 2 x 7! = 2 x 5.040 =  10.080

07)  De quantos modos podemos acomodar 9 pessoas em 9 cadeiras colocadas em linha, de modo que  as cadeiras extremas só podem ser ocupadas por 3 determinadas pessoas?

Solução:

Escolhendo três pessoas como uma única pessoa, por exemplo, ABC = X pessoa, mas observe que podemos permutar: BCA. Portanto 2! = 2

A _{3, 2} x  P₇ =  3! /( 3-2)! X 7! = 3!/1! X 5.040 = 3 x 2 x 1 x 5.040 = 30240

08)  Com 4 vogais e 3 consoantes, quantas disposições de sete letras distintas podemos formar?

Solução:

·         Tomemos, por exemplo: Vogais A-E-I-O e consoantes: B-C-D

·         Total de letras : 4 + 3 = 7

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 ® Ou P₇ = 7! = 5.040