São números decimais infinitos. Exemplo 0,666...
O
algarismo que se repete sucessivamente após a vírgula, no caso o algarismo 6, é o período da dizima. A fração 6/9
é a geratriz da dízima periódica 0,666...
As
dízimas periódicas podem ser:
Simples quando o período vem logo após a vírgula. O exemplo 0,666... é
uma dízima periódica simples.
Composta quando o período não vem
logo após a vírgula e antes dele há algarismos que não se repetirão (parte não
periódica)
Exemplo: 0,41666...Neste
caso, o período é 6 e a parte não
periódica é formada pelos algarismos 4
e 1
que não se repetem. Podemos também ter dízima em que há uma parte
inteira.
Exemplo 1,8333...é uma dízima
periódica composta com: parte inteira = 1,
parte não periódica = 8
A) Cálculo
da geratriz de uma Dízima Periódica Simples
É
a fração que tem como numerador o período e como denominador um número formado
de tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplo: 0, 666... = 6
9
0,4343...= 43
99
1, 888... = 1 +
0,888...= 1 + 8 = 9 + 8 = 17
9 9 9
B ) Cálculo da geratriz de um Dízima
Composta
É uma fração que tem como numerador a parte
não periódica seguidas de um dos períodos, menos a parte não periódica; e, para
denominador, um número formado de tanto noves quantos forem os algarismos
do período, seguido de tantos zeros quantos forem os
algarismos da parte não periódica.
Exemplo;
0,5677... = 567 – 56 = 511
900
900
8,
5356... = 8 + 5356 – 53 = 8
+ 5303 = 79.200 + 5303
9900 9900 9900
8, 53 56 ... = 84.5093
9900
Exercícios
01) Calcular as geratrizes das seguintes dízimas
periódica simples:
a) 0 4242... = 42 = 14
99 33
b)
0,7272... = 72 = 8
99 11
c)
0,611611...= 611
999
d)
0,135135...= 135 = 5
999 37
e)
0, 234234...= 234 = 26
999 11
f)
8, 513513...= 8 + 513 = 7.992 + 513 = 8594
999 999 999
g)
2, 210303...= 2 + 2103 – 21 = 2 +
2082 = 2 + 694
9900 9900 3300
= 2 +
347 = 2 x 1650 + 347 = 3300 + 347 = 3647
1650 1650 1650 1650
02) Calcular
as geratrizes das seguintes dízimas periódica compostas:
a) 0,34848...= 348 – 3 = 345 = 69 =
23
990
990 198 66
b)
0, 45888...= 458 – 45 = 413
900 900
c)
0,344... = 34 – 3 = 31
90 90
d)
0,5666..= 56 – 5 = 51 = 17
90 90 30
e) 0,2355...= 235 – 23 = 212 = 106
= 53
900 900
450 225
f) 0,4888... = 48 – 4 = 44 = 22
90 90
45
g)
2, 210303...=2 + 0,210303 = 2 + 2103 – 21 = 2 + 694
= 2 + 347
9900 9900 1650
= 2
x 1650 + 347 = 3300 + 347 = 3647
1650 1650 1650
h)
2, 7565656...= 2 + 0, 7565656 = 2 + 2756
– 27 = 2 + 2729
990 990
= 2
x 990 + 2729 = 1980 + 2729 = 4709
990 990 990
Também
podemos resolver assim:
a)
0, 4545...
100x = 45,4545... → x = 45
-
x = 0,4545..
99
99x = 45
b)
1, 666....
10x
= 16, 666... → x = 15
- x =
1,666... 9
9x = 15
c)
25, 2121... → x = 2496 = 832
100x
= 2521, 2121... 99 33
-x = 25,2121..
99x = 2496
d) 4, 58123123123… → x
= 457665 = 30511
100.000x = 458123, 123123… 99900 6660
1.000x = 458,123123
99900x = 457665
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