Equações exponenciais elementares e com artificios

Equações elementares

     Quando podemos decompor as potências da equação em bases iguais, chamamos de equações elementares, para resolver esse tipo de problema basta decompor as potências em bases iguais, eliminar as bases e igualar os expoentes.

Exemplo 01:

2^{x – 8} = 4

Primeiro igualamos as bases:

2^{x – 8} = 2²

Feito isso eliminamos as bases:

2^{x – 8} = 2²

Assim igualamos os expoentes:

x – 8 = 2

E por fim chegamos a solução isolando x:

x = 8 + 2

x = 10

Exemplo 02:

Resolver a equação: 9^{2x – 6} = 27^-x

Neste caso a saída e decompor a equação em potências de base 3:

3^{2(2x – 6)} = 3^3(-x)

Ao eliminarmos as bases temos:

2(2x – 6) = 3(-x) realizando a operação de multiplicação deixamos:

4x – 12 = -3x , isolamos o “x” então:

4x + 3x = 12 => 7x = 12 , por fim temos a resposta:

x = 12/7

Equações exponenciais com artifícios

     Se você estava achando fácil resolver equações exponenciais elementares, vamos dificultar um pouco a sua vida, trazendo equações onde não seja possível decompor as bases em potências iguais, e nestes casos devemos utilizar certos “artifícios” para assim poder chegar a solução desejada, apesar de serem situações mais complexas, não são difíceis, basta um pouco de atenção, força de vontade e treino para logo começar a dominar a resolução desse tipo de equação.

E para você entender melhor vamos direto a exemplos:

Exemplo 01

3^x-1 + 3 ^x+1 = 90

     Olhando a equação a cima, de inicio muitos estudantes devem pensar: “Basta igualar as bases em potência de base “3″ “, no entanto se observarmos, não podemos decompormos o número 90 em fatores primos para chegar em uma potência de base 3, por isso para a resolução desse problema devemos utilizar alguns artifícios, por isso chamamos de equações exponenciais com artifícios.

Por isso é sempre importante estar “afiado” na matemática base, pois neste caso, vamos usar propriedades da exponenciação para nos ajudar.

Lembrando que:

3^x-1 é igual a 3^x/3

e

3 ^x+1 é igual a 3^x . 3¹

Substituindo na equação temos:

3^x/3 + 3^x . 3¹ = 90

Para facilitar vamos chamar 3^x de Y, dessa forma deixamos a equação da seguinte forma:

Y/3 + 3Y = 90

Assim temos:

Y + 9Y = 270 => 10Y = 270 => Y = 27

Como chamamos 3^x de Y temos:

3^x = 27

Agora podemos decompor o 27 em potência de base 3:

3^x = 3³, onde basta eliminar a base para chegarmos a solução:

x = 3

Exemplo 02

25^x + 625 = 130.5^x

     Neste exemplo, trazemos um pouco mais de dificuldade, mas apesar de um pouco mais complexo, vamos utilizar a mesma lógica anterior, porém vamos recair em uma equação de segundo grau, onde utilizaremos Bhaskara para chegar a solução final, então mãos na massa!

Primeiro passo, tentar decompor as potências em base iguais:

5^2x + 625 = 130.5^x

Como não podemos deixar todas as potências iguais, partimos para a utilização de artifícios, como fizemos no exemplo anterior, neste caso vamos chamar 5^x de Y, desta forma temos:

Y² + 625 = 130Y =>

Y² – 130Y + 625 = 0

    Para quem ficou na dúvida a respeito da substituição de 5^2x por Y², vale lembrar que:

5^2x = (5^x)² e como 5^x = Y então:

Y²

     Voltando ao problema, agora temos uma equação de segundo grau, que podemos resolver utilizando a formula, que para quem não lembra é:

Y² – 130Y + 625 = 0

Desta forma:

√ = raiz

Y = (130 +_ √16900-2500)/2

Y = (130 +_ √14400)/2

Y = (130 +- 120) / 2

Assim:

Y = 250/2 => Y = 125

e

Y = 10/2 => Y = 5

     Lembrando que no inicio desse exemplo chamamos Y de 5^x, voltando a substituição temos:

5^x = 125

e

5^x = 5

     Agora podemos decompor as bases e potências iguais, ficando:

5^x = 5³

5^x = 5¹

     Eliminamos as bases, temos:

x = 3 e x = 1

Como trata-se de uma equação de segundo grau a solução para esse exercício de exponencial é: {1,3}

Fonte: seusabe.com.br