Vejamos como se processa o cálculo do dígito final do ISBN (controle).
Representando por a a a a a a a a a987654321a seqüência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplica-los, nessa ordem, pela base {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a10 deve ser o menor valor possível, tal que ao ser acrescentado à soma obtida, deve gerar um múltiplo de 1, isto é, se a
| soma obtida é S, o número S + a10 deve ser múltiplo de 1, ou seja, | S + a10 ≡≡≡≡ 0 mod 1. |
Na contracapa do livro Temas e Problemas Elementares, da Coleção Professor de Matemática, da SBM, temos o seguinte código do ISBN: 85-85818-29-8. Vejamos o cálculo do dígito de controle que, como estamos observando, é igual a 8.
| 8 | 5 8 5 8 1 8 2 9 |
| 10 | 9 8 7 6 5 4 3 2 |
| Efetuando as multiplicações correspondentes e somando os produtos obtidos, teremos: |
| 3 | 1 |
| 3 | 30 |
Um outro exemplo:
O livro Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade, da Editora Thompson, tem o seguinte código ISBN 85-221-0399-? Qual o seu dígito de controle?
| 8 | 5 2 2 1 0 3 9 9 |
| 10 | 9 8 7 6 5 4 3 2 |
| 218 | 1 |
| 9 | 19 |
Podemos observar que os dois livros que usamos como exemplo tem o prefixo 85, que identifica livros publicados no Brasil.
Vejamos um exemplo de outro país:
O livro “Hilbert”, de Constance Reid, publicado em alemão (Berlim), tem o seguinte código ISBN: 3-540-04999-1. Façamos a verificação do cálculo do dígito de controle (1).
| 3 | 5 4 0 0 4 9 9 9 |
| 10 | 9 8 7 6 5 4 3 2 |
| 208 | 1 |
| 10 | 18 |
No ISBN, se o dígito for igual a 10 (no caso do resto da divisão por 1 ser igual a 1), é usada a representação do 10 em algarismos romanos, ou seja usa-se um X.
Aritmética modular e algumas de suas aplicações – Ilydio P. de Sá 7
Em todos os casos que iremos mostrar, que usam aritmética modular, são usadas bases de multiplicação que operadas com os dígitos do número geram um determinado valor S. A esse valor obtido deve ser somado ou subtraído um valor x, de modo a que exista uma congruência ao zero, num módulo que normalmente é 1 ou 10, conforme o caso.
A partir de janeiro de 2007 os códigos do ISBN estão sendo representados com 13 dígitos. No caso dos livros editados no Brasil há um acréscimo dos dígitos 978 antes do 85.
2.1.2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13
Um dos códigos de barras mais usados no mundo todo é o EAN-13, constituído de 13 algarismos, sendo que o último é o dígito de controle. Nesse caso é usada a congruência módulo 10 e os fatores que compõem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita.
Se a a a a a a a a a a a a121110987654321a seqüência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Vamos representar por S a soma obtida. O dígito que está faltando, que vamos representar por a13 deve ser tal que ao ser somado com S, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, o número S + a13 deve ser múltiplo de 10, ou seja, S + a13 ≡≡≡≡ 0 mod 10.
Vejamos um exemplo:
Numa embalagem de uma garrafa para bebidas, de Portugal, temos o seguinte código de barras:
| 8 | 4 2 4 9 0 6 2 0 1 7 6 |
| 1 | 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 (esta é a base de multiplicação, nesse caso) |
| 83 | 10 |
| 3 | 8 |
Sabemos também que, no código de barras com 13 algarismos, os três primeiros dígitos do código representam o país de registro do produto (verifique que para produtos filiados no Brasil teremos sempre os dígitos 7, 8 e 9); os quatro dígitos seguintes identificam o fabricante; os
Aritmética modular e algumas de suas aplicações – Ilydio P. de Sá 8 próximos cinco dígitos identificam o produto e o último, como já sabemos, é o dígito verificador ou de controle, que se pode calcular através da congruência, módulo 10.
2.1.3) Cadastro das pessoas físicas na Receita Federal – CPF
Outro exemplo importante, do nosso cotidiano: Verificação dos dois dígitos de controle do CPF de uma pessoa:
O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 1 dígitos, sendo um primeiro bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que são, como no ISBN e nos códigos de barra, dígitos de controle ou de verificação . A determinação desses dois dígitos de controle é mais um caso de aplicação da noção de congruência.
No caso do CPF, o décimo dígito (que é o primeiro dígito verificador) é o resultado de uma congruência, módulo 1 de um número obtido por uma operação dos primeiros nove algarismos.
Se a a a a a a a a a987654321 é a seqüência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida, deve gerar um múltiplo de 1, isto é, se a soma obtida é S, o número S - a10 deve ser múltiplo de 1, ou seja, S - a10 ≡≡≡≡ 0 mod 1. Note que tal número será o próprio resto da divisão por 1 da soma obtida.
Por exemplo, se o CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros dígitos: 235 343 104, o primeiro dígito de controle será obtido da seguinte maneira:
| 2 | 3 5 3 4 3 1 0 4 |
| 1 | 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Efetuando as multiplicações correspondentes, teremos: 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 3 x 6 + 1 x 7 + 0 x 8 + 4 x 9 = 116.
| 16 | 1 |
| 6 | 10 |
A determinação do segundo dígito de controle é feita de modo similar, sendo que agora acrescentamos o décimo dígito (que é o que acabamos de calcular) e usamos uma base de multiplicação de 0 a 9.
| 2 | 3 5 3 4 3 1 0 4 6 |
| 0 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Efetuando as multiplicações, teremos: 2 x 0 + 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 + 1 x 6 + 0 x 7 + 4 x 8 + 6 x 9 = 145
| 145 | 1 |
Aritmética modular e algumas de suas aplicações – Ilydio P. de Sá 9
Logo, o segundo dígito de controle é o 2. Concluímos então que, no nosso exemplo, o CPF completo seria: 235 343 104 62
Se o resto da divisão fosse 10, ou seja, se o número obtido fosse congruente ao 10, módulo 1, usaríamos, nesse caso, o dígito zero.
2.2) Congruência e Criptografia
Gpukpq Hwpfcogpvcn
Com certeza a frase acima nada significa para você. Parece algum idioma desconhecido ou de outro planeta. Experimente agora substituir cada letra pela segunda letra que vem antes dela, na seqüência do alfabeto completo (26 letras, incluindo k, w e y). Sem grande dificuldade você terá escrito “Ensino Fundamental”.
De uma forma simplificada é o que ocorre na criptografia, quando alguém deseja transmitir alguma informação que não deseja partilhar com os outros, a não ser o destinatário final e combina uma chave qualquer para transmissão e recepção da informação. O receptor, de posse da chave, decodifica a mensagem, transformando-a novamente para que possa entender e ler o que lhe foi enviado. No exemplo que demos, que é bastante simples, o emissor substituiu cada letra do alfabeto por uma outra que ficava duas posições depois dela, no alfabeto. O receptor, sabendo da chave dessa “criptografia”, aplicava a operação inversa na frase recebida, ou seja, substituía cada letra recebida pela que ficava duas posições antes dela, no alfabeto.
Se designarmos por x a letra original e por y a letra que a substituirá no código, é como se tivéssemos uma função, definida por y = x + 2.
Sabe-se que a primeira aplicação de criptografia foi inventada pelo imperador romano Julio César, que enviava mensagens aos seus generais trocando letras do alfabeto a partir de uma simples regra, similar à que exemplificamos acima, que seria "pule três" (chave 3). Através deste esquema, as letras eram trocadas pela terceira letra anterior no alfabeto. Desta forma, somente quem soubesse da regra conseguia desfazer o algoritmo e ler a mensagem original.
Veja como funcionava essa chave 3, de Julio César:
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