O Paradoxo do Hotel de Hilbert
No começo do século XX o matemático alemão David Hilbertdisse: ”O infinito! Nenhum outro conceito estimulou tão profundamente o espírito humano; nenhuma outra idéia estimulou o intelecto de modo tão frutífero,e no entanto nenhum outro conceito precisa ser mais esclarecido do que a idéia de infinito.”
Para ajudar a explicar o mistério do infinito, Hilbert criou um exemplo de infinito conhecido como Hotel de Hilbert. Este hotel hipotético tem o desejável atributo de possuir um numero infinito de quartos. Um dia um novo hospede chega e fica desapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito do hotel, todos os quartos estão ocupados.
Existe um Hotel que é infinito – com um infinito número de quartos.
O Hotel está cheio – todos os quartos ocupados.Chega um novo hóspede. Será que ele tem lugar no hotel?
Se pensarmos de forma regular, então se o hotel está cheio, o novo hóspede não tem lugar.
No entanto, como o Hotel tem um número infinito de quartos, o gerente do hotel pede a todos os hóspedes para se mudarem para o quarto adjacente um número acima: o hóspede no quarto 1 muda-se para o 2, o que estava no 2 muda-se para o 3, e assim sucessivamente.Assim, o novo hóspede cabe no quarto 1.Todos os que estavam no Hotel continuam hospedados. E o novo hóspede também fica agora com um quarto.Ou seja, apesar do Hotel estar cheio, ao mesmo tempo cabe sempre mais um.Matematicamente, isto quer dizer que infinito mais um é igual a infinito!
Na noite seguinte Hilbert precisa lidar com um problema ainda maior. O hotel continua cheio quando um veículo infinitamente grande chega com um numero infinito de novos hospedes. Hilbert não se deixa abalar e esfrega as mãos de contentamento pensando na quantidade infinita de diárias. Ele pede a todos os seus hospedes anteriores que para que se mudem para os quartos cujos números sejam o dobro do numero do quarto anterior. Assim, o hospede do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hospede do quarto 2 se muda para o quarto 4, e assim por diante. Todos aqueles que se encontravam no hotel continuam alojados e, noentanto, um numero infinito de quartos, os de números impares, ficaram vagos para receber os recém-chegados.
Isto mostra que o dobro do infinito continua sendo infinito.
Os matemáticos tiveram que desenvolver todo um sistema de nomenclatura para lidar com as escalas variáveis do infinito, e lidar com esse conceito é um dos assuntos mais quentes hoje em dia.
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