REVISÃO DE
MATEMÁTICA BÁSICA
Prof. Wilson C. Canesin da Silva
SUMÁRIO
1 – Operações com frações
2 – Divisão de frações
3 – Operações com números
relativos
4 – Resolução de equações do
1º grau (1º tipo)
5 – Resolução de equações do
1º grau (2º tipo)
6 – Resolução de equações do
1º grau (3º tipo)
7 – Equação do 2º grau
incompleta (1º tipo)
8 – Equação do 2º grau
incompleta (2º tipo)
9 – Equação do 2º grau
completa
10 – Radicais
11 – Operações com radicais
12 – Exponenciais
13 – Propriedade
distributiva
14 – Produtos notáveis
15 – Diferença de quadrados
16 – Trinômio ao quadrado
17 – Binômio ao quadrado
18 – Fatoração
19 – Racionalização de
expressões numéricas
20 – Racionalização de
expressões algébricas
21 – Solução de equações
irracionais
22 – Resolução de sistemas
de 2 equações a 2 incógnitas
1 – Operações com frações
O método mais
direto de resolver frações é o do máximo divisor comum:
+
=
=
Ex. 1)
+
=
=
=
+
=
=
=
Ex. 2)
-
=
=
=
-
=
=
=
Para 3 ou mais
frações o procedimento é o mesmo.
+
+
=
=
Ex. 3)
+
-
=
=
+
-
=
=
=
=
=
Resolver:
a)
+
b)
-
c)
-
+
b)
-
c)
-
d)
e)
f)
e)
f)
2 – Divisão de frações
É só inverter a 2ª fração e multiplicar
=
=
Ex. 1)
=
=
=
=
=
=
Ex. 2)
=
=
=
=
Ex. 3)
=
=
=
=
=
=
=
=
Resolver:
a)
b)
c)
b)
c)
d)
¸
e)
¸
¸
e)
¸
3 – Operações com números
relativos
Ex. 1)
-2 + (-3) ®
-2 – 3 = - 5
Ex. 2)
+5 – (-8) ®
5 + 8 = 11
Ex. 3)
(-2) ´
(-3) = 6
Ex. 4)
(-3) ´
5 = -15
Ex. 5)
(-2)2 = (-2)
´
(-2) = 4
Ex. 6)
(-3)3 = (-3)2
´
(-3) = 9 ´
(-3) = - 27
Resolver:
a)
-9 + 12 – (-14) = b) 13 + (-9) – 3 =
c) 7 – (-8)
= d) -14 – (-12) – 24 =
e) (-3)
´
(-8) + 25 = f) 9
´
(-2) ´
(-3) =
g) (-5)2
= h) (-2)5 =
4 – Resolução de equações do
1º grau
Ex. 1)
ax = b , divide os 2 membros por “a”
ax/a = b/a
®
x = b/a
Resolver:
a) 3x =
-7 b) 15x = 3
5 – Equações do 1º grau
(continuação)
Ex. 1)
6x + 8 = 26 (subtrai 8 nos dois membros p/ isolar x)
6x + 8 – 8 = 26 –
8 ®
6x = 18 ®
x = 18/6 ®
x = 3
Ex. 2)
3x – 12 = -13 (soma 12 nos dois membros p/ isolar x)
3x – 12 + 12 =
12 – 13 ®
3x = -1 ®
x = -1/3
Resolver:
a) 4x + 12 =
6 b) 7x + 13 = 9
c) -5x – 9 =
6 d) 3x + 15 = 0
6 – Equações do 1º grau
(continuação)
Ex. 1)
5x – 13 = 2x + 7 (subtrai 2x nos dois membros)
5x – 2x – 13 =
-2x + 2x + 7
3x – 13 = 7
(soma 13 nos dois membros)
3x – 13 + 13 = 7
+ 13 ®
3x = 20 ®
x = 20/3
Resolver:
a) 3x + 9 = 5x +
3 b) -2x + 3 = 12 + 3x
c) 7x – 13 = -3x +
7 d) 9x – 2 = 6x + 4
e)
(2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x
7 – Equação do 2º grau
incompleta (1º tipo)
Ex. 1)
x2 = 4
®
=
(extrai
a raiz de ambos os membros)
=
(extrai
a raiz de ambos os membros)
X =
±
2 (Eq. do 2º grau sempre tem 2 respostas)
Prova: (x)2 =
(+2)2 ®
x2 = 4
As 2 raízes satisfazem
(x)2
= (-2)2
®
x2 = 4
Resolver:
a) 3x2 =
12 b) x2 = 7
8 – Equação do 2º grau
incompleta (2º tipo)
Ex. 1)
x2 – 2x = 0 (põe x em evidência)
x – 2 = 0 ®
x = 2
Resulta
(x – 2)x = 0
x = 0
®
x = 0
Resolver:
a) 4x2 – 8x =
0 b) x2 + 3x = 0
c) 3x2 + 7x =
0 d) x2 – 5x = 0
9 – Equação do 2º grau
completa
Forma: ax2 + bx
+ c = 0
Solução:
D
= b2 – 4ac ,
D
> 0 (solução real, 2 raízes diferentes)
D
= 0 (sol.
real, 2 raízes iguais)
Fórmula: x =
ou
x’ = (-b +
)
/ 2a x” = (-b -
)/2a
ou
x’ = (-b +
)
/ 2a x” = (-b -
)/2a
Ex. 1)
2x2 + 5x + 2 = 0
D
=
=
=
=
3
=
=
=
3
Soluções: x’ = (-5 + 3) / 4
= -2/4 = -1/2
x” = (-5 –
3) / 4 = -8/4 = -2
Resolver:
a) x2 – 5x + 6 =
0 b) x2 – 6x + 8 = 0
c)
3x2 + 11x + 8 = 0
10 – Radicais
®
A = radicando; n = índice da raiz e m = expoente do radicando =
Am/n (fórmula geral)
Ex. 1)
=
=
22/2 = 21 = 2
=
=
22/2 = 21 = 2
Ex. 2)
=
=
3
=
=
3
Ex. 3)
=
=
210/5 = 22 = 4
=
=
210/5 = 22 = 4
Ex. 4)
=
´
=
=
x
=
´
=
=
x
11 – Operações com radicais
Ex. 1)
´
=
=
x2/2 = x
´
=
=
x2/2 = x
Ex. 2)
´
=
´
=
Ex. 3)
=
=
2
=
=
2
Ex. 4)
=
=
=
=
=
=
Ex. 5)
=
=
=
x
=
=
=
x
Ex. 6)
=
=
=
2
=
=
=
2
Resolver:
a)
b)
c)
b)
c)
d)
e)
f)
e)
f)
12 – Exponenciais
Ax - A é a
base, x é o expoente
P1)
Ax ´
Ay = Ax+y
P2)
Ax / Ay = Ax-y
P3)
(Ax)y = Ax.y
P4)
(A . B)x = AxBx
P5)
e
=
=
Ax . B-x
e
=
=
Ax . B-x
Ex. 1)
27 = 23+4 = 23 . 24 = 8
´
16 = 128
Ex. 2)
(22)3 = 26 = 23+3 = 23
. 23 = 8
´ 8 = 64
Ex. 3)
(2 ´
3)3 = 23
´
33 = 22
´
2 ´
32 ´
3 = 4 ´
2 ´
9 ´
3 = 216
Ex. 4)
=
523-20 = 53 = 52
´
5 = 25 ´
5 = 125
=
523-20 = 53 = 52
´
5 = 25 ´
5 = 125
Resolver:
a) 210
b)
c)
d) 16 ´
2-3
c)
d) 16 ´
2-3
13 - Propriedade
distributiva
1)
A
´
(B + C) = A ´
B + A ´
C
2)
(A
±
B)(C + D) = (A ±
B)(C + D) = A(C + D)
±
B(C + D)
Ex. 1)
2(4 + x) = 8 + 2x
Ex. 2)
(3 – x)(x – 2) = 3(x – 2) – x(x – 2)
= 3x – 6 – x2 + 2x = -x2 + 5x – 6
Resolver:
a) (x -
)(x
+
)
b) (a + b)(a + b)
)(x
+
)
b) (a + b)(a + b)
c) (2 +
)(2
-
)
d) (2 +
)(3
+ 2)
)(2
-
)
d) (2 +
)(3
+ 2)
14 – Produtos notáveis (A +
B)2
Pode ser resolvido usando a
propriedade distributiva ou a regra a seguir:
(A + B)2 = (A +
B)(A + B) = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = (A –
B)(A – B) = A2 – 2AB + B2
Ex. 1)
(x – 2)2 = x2 – 4x + 4
Resolver:
a) (x – 3)2
b) (a + 2)2 c) (x + y)2
15 – Diferença de quadrados
x2 – a2
= (x – a)(x + a)
Ex. 1)
x2 – 4 = (x – 2)(x + 2)
Ex. 2)
x2 – 3 = (x -
)(x
+
)
)(x
+
)
Ex. 3)
x2 – A = (x -
)(x
+
)
)(x
+
)
Resolver:
a) ( -
2)( +
2) = b) x2 – 16 =
-
2)( +
2) = b) x2 – 16 =
c) x2 – 7
= d) (2 +
)(2
-
)
=
)(2
-
)
=
16 – Trinômio ao quadrado
(a + b + c)2 =
[(a + b) + c)]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2
+ 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +
2ac + 2bc
Resolver:
a) (x + y +
1)2 b) (x – y +2)2
17 – Binômio ao cubo
(a + b)3 = (a +
b)2 ´
(a + b)
18 – Fatoração
(tirar fator comum para fora do parênteses)
Ex. 1)
2x2 + 4x = 2x(x + 2)
Ex. 2)
x +
x2 = x( +
x)
+
x2 = x( +
x)
Ex. 3)
=
=
=
=
=
=
Resolver:
a)
=
b)
=
=
b)
=
c)
=
d)
=
=
d)
=
19 – Racionalização de
expressões numéricas
Consiste em tirar
uma raiz do denominador.
Ex. 1)
®
´
=
=
®
´
=
=
Ex. 2)
=
´
=
=
´
=
Ex. 3)
Resolver:
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
20
- Racionalização de Expressões Algébricas
Multiplica numerador e
denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa
diferença de quadrados.
Ex.1)
Ex. 2)
Resolver
:
a)
b)
c)
b)
c)
d)
e)
f)
e)
f)
21
- Solução de Equações Irracionais
Ex.1)
®
isola a raiz
®
isola a raiz 
®
eleva ao quadrado ambos os membros
®
®
Resolver:
a)
b)
c)
b)
c)
d)
e)
e)
22
- Resolução de Sistemas de Equações a 2 Incógnitas
Resolver o sistema de
equações: existem 2 métodos; substituição e eliminação.
a)
Por substituição : da equação 2) obtém-se x = 5 - y que é substituído
na 1).
Então 3(5 - y) + 2y =12
®
y = 3 e volta para x, ou seja x = 5 - y = = 5 - 3 = 2.
b)
Por eliminação: multiplica-se a 2) por -3 e soma-se com a 1)
Então
3x + 2y = 12
-3x - 3y = -15
- y = - 3
®
y = 3 voltando na 2) , tem-se x = 2.
Resolver:
a)
2x
+ y = 12 b) 3x + 2y = 4
2x
+ y = 12 b) 3x + 2y = 4
x
+ 7y = 19 x - y = 2
c) 2x
+ 3y = 8 d) x - y = 3
3x + 4y =
11 2x + y = 9
Respostas das Questões
1)
a) 25/63 ; b) 8/35
; c) -4/55 ; d) 227/252 ;
e) 343/792 ;
f) 147/135
2)
a) 55/46 b) 3/2 ; c) 24/7 ; d) 104/357 ; e)
256/371
3)
a)17 ; b) 1 ; c) 15 ; d) –26 ;
e) 49 ;
f) 54 ; g)
25 ; h) –32
4)
a) x= -7/3 ; b) x=1/5
5)
a) –3/2 ;
b) -4/7 ; c) x= -3 ; d) x= - 5
6)
a) x=3 ; b) x=-9/5 ; c) x=2 ; d) x=2 ;
e) x= -5/2
7)
a) x= ±2
; b) x = ±
8)
a) x=0 e x= 2 ; b) x=0 e x= -3 ; c) x=0
e x= -7/3 ;
d) x=0 e x= 5
9)
a) x=2 e x=3 ; b) x=4 e x= 2 ; c) x= -1 e x = -8/3
11)
a) 9 ; b) 4 ; c) 49 ; d) 3 ; e)
x + 2 ; f) 3
12)
a) 1024 ; b) 49 ; c) 81/16 ; d ) 2
13)
a) x2 – 7 ; b) a2 + 2ab +b2 ; c)
1 ; d) 2x + 7
+ 6
+ 6
14)
a) x2
– 6x +9 ; b) a2 + 4a + 4 ; c) x2 +2xy +
y2
15)
a) –1 ; b) (x-4)(x+4) ; c) ( x -)(x
+
)
; d) 1
)(x
+
)
; d) 1
16)
a) x2 + y2 +1 + 2xy + 2x + 2y ; b) x2
+ y2 + 4 - 2xy + 4x - 4y
18)
a) 4x ; b) x - 2 ; c) a + b ; d) x+ 2
19)
a)
;
b) 3
/5
; c) 2
/3
; d)
/
9
;
b) 3
/5
; c) 2/3
; d)
/
9
20)
a)
-
1 ; b) (1 +
)
/ (1 - x) ; c) 2 ( -1
) / (x -1)
-
1 ; b) (1 +
)
/ (1 - x) ; c) 2 ( -1
) / (x -1)
d) (7/2).(3 -
)
; e ) (
-
)/
(a2 – b2 ) ; f)
-
)
; e ) ( -
)/
(a2 – b2 ) ; f)
-
21)
a) x=0 e x=1 ; b) x=5 ; c) x =
±
d) x=4 e x= 1 ;
e) x= ( 1± )/2
)/2
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