sábado, 15 de junho de 2013

ARITMÉTICA MODULAR E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES - 04


Vejamos a regra prática, alguns exemplos e, finalmente, a explicação. O procedimento que escolhemos funciona para datas entre 1900 e 2399 (devido a uma particularidade dos anos bissextos terminados em “0”). Com algumas modificações, contudo, pode ser adaptado para atender quaisquer datas.
1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você nasceu. Por exemplo, se você nasceu em 1980, irá anotar 80. Vamos chamar essa quantidade de A.
2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor A, sem considerar o resto da divisão. Vamos chamar essa nova quantidade de B.
3) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele, que está na tabela logo abaixo. Procure o mês e anote o número que está ao lado dele. Vamos chamar esse número de C.
Tabela dos meses
Janeiro 0 Julho 6 Fevereiro 3 Agosto 2
Março 3 Setembro 5 Abril 6 Outubro 0 Maio 1 Novembro 3 Junho 4 Dezembro 5
Aritmética modular e algumas de suas aplicações – Ilydio P. de Sá 14 4) Considere o dia do nascimento (x). Calcule x – 1, que vamos chamar de D.
5) Some agora os quatro números que você obteve nas etapas anteriores (A + B + C + D). Divida essa soma obtida por sete (7) e verifique o valor do resto dessa divisão.
6) Finalmente, procure esse resto na tabela a seguir. Você terá o dia da semana do seu nascimento ou de qualquer outra pessoa que queira descobrir.
SEGUNDA-FEIRA 0 SEXTA-FEIRA 4 TERÇA-FEIRA 1 SÁBADO 5 QUARTA-FEIRA 2 DOMINGO 6 QUINTA-FEIRA 3
Vejamos um exemplo. Vamos imaginar uma pessoa que tenha nascido em 16 de fevereiro de 1918. Qual foi o dia da semana?
1) 18 (1918 – 1900), logo, A = 18 2) 18:4 = 4 (desconsidere o resto), logo, B = 4 3) O mês é Fevereiro, então C = 3 (ver na tabela) 4) x = 16 (dia do nascimento), logo, D = 15 (x – 1) 5) Somando os quatro números, teremos 18 + 4 + 3 + 15 = 40
40 : 7 = 5 e resto 5. Na tabela o 5 é um SÁBADO.
Só para conferir, fomos procurar um calendário de 1918, destacando o mês de fevereiro. Veja que o dia 16 foi realmente um SÁBADO.
Fevereiro - 1918
24 25 26 27 28
Interessante, não? Justificativa matemática:
Fato número 1. O algoritmo (regrinha) que foi montado partiu do fato de que o dia 1º de janeiro de 1900 foi uma segunda-feira (0, na tabela). Todos os passos que foram colocados na regra prática visam determinar o “deslocamento”, na seqüência de dias da semana, que a data procurada tem em relação àquela segunda-feira, 01/01/1900, que é nosso “ponto de partida”.
Fato número 2. Cada ano de 365 dias vê seu primeiro de janeiro “afastado” de uma posição para a direita no ciclo dos dias da semana (segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo, segunda, etc.) em relação ao dia-da-semana em que caiu o primeiro de janeiro do ano anterior. Isto porque 365 dividido por 7 deixa resto 1. Quando a pessoa faz a diferença entre o ano de seu nascimento e o ano 1900, está descobrindo quantos “afastamentos”, ou deslocamentos, essa data primeira sofreu em relação ao àquele 01/01/1900. Quando descobrimos, na fase seguinte, a quantidade de anos bissextos (ao dividir o resultado anterior por 4), estamos acrescentando o deslocamento adicional de mais uma “casa”, no ciclo de dias da semana, para cada ano bissexto
Aritmética modular e algumas de suas aplicações – Ilydio P. de Sá 15 considerado. Isto porque os anos bissextos afastam o primeiro de janeiro do ano seguinte não em 1 “casa”, mas em 2, já que 366 deixa resto 2 quando dividido por 7.
Os dois primeiros passos do processo serviram apenas para localizar o dia 1º de janeiro do ano considerado, ou seja, até aqui apenas o ANO da data desejada foi considerado. Agora é a vez de acrescentarmos os deslocamentos gerados pelo mês e pelo dia da data procurada.
Fato número 3 – Se todos os meses do ano tivessem 28 dias (que gera resto zero ao ser dividido por 7), todos os meses teriam o seu dia primeiro exatamente no mesmo dia da semana que o primeiro de janeiro do ano considerado. Mas como temos meses com mais de 28 dias, todos esses meses (transcorridos de janeiro até o mês considerado) “empurram” o seu dia primeiro um certo número de “casas” adiante no ciclo dos dias da semana. A tabela criada para o nosso algoritmo está relacionada à aritmética modular, ou seja, à congruência módulo 7. Vejamos como surgiram os números da tabela.
Janeiro é a nossa referência, logo não há qualquer afastamento em relação a ele próprio (não há qualquer mês antes dele, empurrando seu dia primeiro para a direita, no ciclo, em relação ao próprio 1º de janeiro do ano em questão). Por isso, na tabela dada, ao lado do mês de janeiro, temos o número zero.
Como o mês de janeiro tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês vai “empurrar” o primeiro dia do mês seguinte 3 “casas” para a direita em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, o mês de fevereiro recebe o número 3 na tabela.
Como fevereiro tem 28 dias e 28 dividido por 7 deixa resto 0, esse mês não irá acrescentar qualquer “deslocamento” adicional ao mês seguinte. Logo, o primeiro dia do mês de março cairá no mesmo dia da semana que o primeiro de fevereiro daquele ano, ou seja, será deslocado apenas das mesmas 3 “casas” para a direita, em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, na tabela dada, o mês de março também tem o número 3.
Como março tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de (3 + 0 + 3) “casas” para a direita, já que como num dominó em cascata, esses deslocamentos são cumulativos. Por isso na tabela, o mês de abril tem o número 6.
Como abril tem 30 dias e 30 dividido por 7 deixa resto 2, esse mês vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de (3 + 0 + 3 + 2) “casas”, mas como a semana só tem 7 dias, na congruência módulo 7 o número 8 corresponde ao 1 (8 : 7 = 1 e resto 1). Isto é, avançar oito “casas” no ciclo de dias da semana é o mesmo que avançar uma “casa” apenas. Por isso o mês de maio na tabela tem o número 1.
Assim por diante, justificam-se facilmente os números que estão ao lado dos outros meses.
Os passos que demos até aqui determinaram a quantidade de “casas” em que o primeiro dia do mês da data considerada está adiante, no ciclo dos dias da semana, do dia primeiro de janeiro de 1900. Precisamos agora, para finalizar, determinar a quantidade de deslocamentos necessários para atingirmos o exato dia procurado. Ora, se localizamos o dia 1 e queremos localizar o dia x de um determinado mês, precisamos ainda de um deslocamento correspondente a (x – 1) “passos”. Veja, por exemplo, se a data procurada fosse o dia 4 de um determinado mês, teríamos ainda mais 3 = 4 – 1 deslocamentos à direita no ciclo de dias da semana. Se o dia primeiro daquele mês caiu numa terça-feira, por exemplo, o dia 4 cairá numa sexta-feira (que está, evidentemente, 3 “casas” adiante de terça-feira, no ciclo).
É claro que a soma dos quatro números obtidos nas etapas do processo terá sempre de ser dividida por 7, pois são sete os dias da semana e o ciclo se repete sempre.
Aritmética modular e algumas de suas aplicações – Ilydio P. de Sá 16
Essa atividade, ou brincadeira, ou truque é um outro exemplo interessante da nossa congruência módulo k, que nesse caso é igual a 7.
Que tal mais um exemplo?
Vamos descobrir em qual dia da semana caiu o Natal do ano 2000. Abaixo todos os passos do processo.
Somando A + B + C + D, teremos: 100 + 25 + 5 + 24 = 154 Calculando o resto da divisão por 7. 154 : 7 = 2, resto 0. Na tabela, temos 0 = 2ª feira. Vejamos o calendário de dezembro de 2000
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O rapaz que compareceu ao programa de TV devia usar essa regra ou outra semelhante e só teve que decorar a tabela dos meses e, é claro, ter facilidade para cálculo mental.
Referências
BRASIL, RPM, Revista do Professor de Matemática. Volumes 12 e 45. Sociedade Brasileira de Matemática.
BUCHMANN, J. Introdução à Criptografia. São Paulo: Berkeley, 2002.
BURNETT, S. & PAINE, S. Criptografia e Segurança: o Guia Oficial RSA. São Paulo: Campus, 2002.
CRATO, N,. Alice e Bob. Expresso / Revista, 2 de Setembro, p. 118-120. (2001) MARTINI, R. Criptografia e Cidadania Digital. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2001. SINGH, S. O Livro dos Códigos. São Paulo: Record, 2001.
TERADA, R. Segurança de Dados: Criptografia em Redes de Computadores. São Paulo: Edgard Blucher, 2000.

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