sábado, 1 de junho de 2013

MATEMÁTICA DAS IDADES




01) Um pai tem 31 anos e o filho, 8 anos. Daqui a quantos anos será a idade do o dobro da do filho? Solução
31 – ( 2 x  8 ) = 31 – 16 = 15 anos
Também:                         Como P = 2F 2(8 + x) = 31 + x
I) P = 31 + x                    16 + 2x = 31 + x 2x – x = 31 - 16
II) F = 8 + x                     x = 15
III) P = 2F
Resposta.: Daqui a 15 anos

02) Um pai tem atualmente 49 anos e os filhos têm, respectivamente,  25 anos, 20 anos e 16 anos. Há quantos anos era a idade do pai igual à soma das idades dos filhos? Solução:
Cada ano que passava 1 ano era acrescentado as idades dos filho e do pai.
Filhos = 1 + 1 + 1 = 3     Diferença entre os acréscimos : 3 – 1 = 2
Pai = 1 ano
( 25 + 20 + 16 ) – 49  = 61 – 49 = 6 anos
           2                               2
Também:
I)   P   = 49 – x                              25 – x  + 20 – x + 16 – x = 49 – x - 3x + 61 = 49 – x
II)  F1 = 25 – x                               - 3x – x  = 49 – 61 - 2x = - 12 (-1)
III) F2 = 20 -  x                              x = 12  x = 6
IV) F3 = 16 – x                                      2
Resposta.:  Há 6 anos

03) Perguntando-se a uma pessoa que idade tinha, respondeu: Se do triplo de minha idade subtrairmos o quíntuplo da idade que eu tinha há 12 anos teremos a minha idade atual. Que idade tinha? Solução:
5 – 3 = 2                                                            3x – 5( x – 12) = x 3x – 5x + 60 = x
5 x 12 = 60                                                        - 2x – x =  - 60 - 3x = - 60 ( -1)
60 ÷ 3 = 20 anos                                                x = 60
Também:                                                                   3
Idade atual = x                                                   x = 20
Idade há 12 anos = x – 12
Triplo = 3x
Resposta.: 20 anos

04) Marisa tem 3 anos a mais que Sônia,   5 anos a soma de suas idades era 51 anos. Quantos anos tem cada uma? Solução  { Verbo no passado,sinal de (-) }
A cada ano que passava 1 ano era acrescentado a idade de cada uma :
1 + 1 = 2 anos
Sônia = 51 – 3 = 48  = 24 anos       Marisa = 24 + 3 = 27 anos
                  2         2
Também:
I ) M + S = 51                                     S + 3 + S = 51 2S = 51 – 3 2S = 48
II) M = S + 3                                       S = 48 S = 24 anos   e  M = 24 +3 = 27 anos
                                                                    2
Resposta.: 27 anos e 24 anos

05) A soma das idades de duas pessoas, A e B, é 36 anos. A idade da pessoa A diminuída de 2 anos é igual a idade da pessoa B aumentada de 4 anos. As idades das pessoas A e B são respectivamente? Solução:
2 + 4 = 6     36 + 6 = 42         A + B = 36               A = 42 ÷ 2
42 ÷ 2 =     21 A                       A – B =  4 + 2          A = 21
36 - 21  = +15 B                         │ A  - B =   6            B = 36 - 21
                   36                            │A + B = 36             B = 15
Também:                                          2A = 42
I ) A + B = 36
II) A – 2 = B + 4  Resposta: 15 anos e 21 anos

06) Eu tinha 37 anos e minha melhor aluna 15, quantos anos eu tinha. O triplo de sua idade. Solução:
Há 15anos ele tinha : 3 x 15 = 45 anos
3 – 1 = 2                                                       37 – x = 3( 15 – x ) 37 = 45 – 3 x
45 -  37 = 8  = 4 anos                                    - x + 3x = 45 – 37 2x = 8
     2          2                                                   x = 8 ÷ 2 x = 4
Também:
I) Eu = 37 – x
II) Aluna = 15 – x
Resposta. Há 4 anos.

07) Atualmente Gilda tem 14 anos e Aluísio, 4 anos. Daqui a quantos Gilda terá o dobro da idade de Aluísio? Solução:
2 – 1 = 1                                                      14 + x = 2 ( 4 + x ) 14 + x = 8 + 2x
2 x 4 = 8                                                      8 + 2x = 14 + x 2x – x = 14 – 8
14 – 8 = 6                                                     x = 6
6 ÷ 1 = 6 anos
Também:
I) Gilda = 14 + x
II) Aluísio = 4 + x
Resposta.: Daqui a 6 anos

08) No ano de 1981 a soma das idades de Jonofon e de sua esposa Míriam era 12 anos mais que a soma das idades de seus seis filhos: Newton, Arquimedes, Lídia, Hipácia, Pitágoras e Gauss. Em que ano a soma das idades dos filhos será 48 anos a mais que a soma das idades dos pais. Solução:
Pai + Mãe = 1 + 1 = 2 anos                                          60 ÷ 4 = 15 1981 + 15 = 1996
Seis filhos  = 6 x 1 = 6 anos
Diferença 6 – 2 = 4 anos
48 + 12 = 60 anos
Resposta.: Em 1996

09) Um avô perguntou a seu neto Tales qual era a sua idade.Obteve a seguinte resposta: “ O senhor tome a minha idade daqui a 3 anos, multiplique-a por 3 e depois subtraia 3 vezes a minha idade há 3 anos.Assim procedendo, saberá quantos anos eu tenho. Qual a idade de Tales?
Solução.:
3(1 + 3 ) – 3 ( 1 – 3 ) = 3 x 4 – 3 ( -2) = 12 + 6 = 18 anos
Pode se também
3 (2 + 3 ) - 3 ( 2 – 3) = 3 x 5 – 3 ( -1) = 15 + 3 = 18 anos
Pode ser também
3(15 +3) – 3 ( 15 – 3 ) = 3 x 18 – 3 (12) = 54 – 36 = 18 anos
Também;
Idade daqui a 3 anos = x + 3
Idade  há 3 anos = x – 3
3( x + 3 ) – 3 ( x - 3 ) = x 3x  +  9 – 3x  +9 = x  x = 9 + 9 = 18
Resposta. : 18 anos

10) A idade atual de Tainá é a diferença entre os 5/8 da idade que ela terá daqui a 18 anos e os 2/3 de que teve 5 anos. Solução:
5 x 3 =  15
2 x 8 =  16
8 x 3 =  24
16 – 15 = 1
(15 x 18) + ( 16 x 5) = 270 + 80 = 350 = 14 anos
        24 + 1                       25           25

Também :                                        5 ( x +18) – 2 ( x – 5 ) = x
I) Idade = x                                      8                  3
II) Idade daqui a 18 anos = x +18
III0 Idade há 5 anos = x - 5

11) Uma mãe e seu filho têm  juntos 82 anos. Quando o filho nasceu a mãe tinha 26 anos. Qual a idade atual de cada um. Solução;
82 + 26 = 108 anos
108 ÷ 2 =    54 anos
54 – 26 = + 28 anos
                    82 anos
Também:
I)  M + F = 82
II) F = M – 26
Resposta. :  28 anos e 54 anos

12) As duas idades de duas pessoas estão entre si como 3 está para 4.   9 anos elas estavam entre si como 5 está para 7 .Qual a idade de cada pessoa? Solução:
 ( 7 x 9 ) – (5 x 9 ) = 63 – 45 = 18
3  x  18  =   54 anos
4  x  18 =    72 anos
Também:
I)  A = 3
     B    4
II) A – 9 = 5
     B – 9     7
Resposta.: 54 anos e 72 anos

13)Um pai tem 30 anos mais que seu filho. Se este tivesse nascido 2 anos mais tarde, sua idade seria atualmente a terça parte da idade do pai. Qual a idade do filho? Solução:
2   x  3 = 6
30 –  6 = 24 anos, dobro da idade do filho
24 ÷  2 =  12 anos
30 + 12 =  42 anos



Também:
I) P = F + 30
II) F + 2 = P
                  3
Resposta.: 12 anos

14) Um casal juntos, têm 80 anos. Se a soma das idades do pai e de sua única filha é iguala 55 anos e a da sua mãe com a filha é igual a 51 anos, qual a idade de cada uma? Solução.:
(55 + 51) – 80 = 106 – 80 = 26 anos dobro da idade da filha
26 ÷ 2 = 13 anos                                    Pai  = 55 – 13 = 42 anos
Também:                                               Mãe = 51 – 13 = 38 anos
I)   P + M = 80
II)  P +  F  = 55
III) M + F = 51
Resposta.: 13 anos, 38 anos e 42 anos

15) Tenho o quíntuplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens, quando tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 72 anos. Quais são as nossas idades? Solução:
I)   Eu = a
II)  Tu = b
III) b – ( a – b) = b – a + b = 2b + a
IV) a -  (b –  a) = a – b + a = 2a + b 
V ) quíntuplo  a = 5 (2b – a ) a = 10b – 5a a +5a -10b = 0
6a – 10b = 0 (÷2) 3a– 5b = 0
VI) Soma das idades: 2a – ( b – a)= 72  → 2a –b +a = 72 3a – b = 72
3a  - 5b = 0 (-1)            - 3a + 5b = 0            b = 72 ÷ 4 b = 18
3a  -   b = 72                    3a  -   b = 72          a = 10 x 15 =30
                                                4b = 72                     6
Resposta.: 18 e 30 anos

16) Luiz tem hoje o dobro da idade que Alexandre tinha quando Luiz tinha a idade que Alexandre tem, a soma das idades de ambos e 63. Qual a idade de cada um? Solução:
I)   Luiz = a
II)  Alexandre = b
III) b – ( a – b) = b – a + b = 2b -  a
IV) a – ( b –a ) = a  -  b + a = 2a – b
V) dobro  a = 2(2b –a ) a = 4b – 2a a + 2a - 4b = 0 3a – 4b = 0
VI) Soma : 2a – ( b – a ) = 63 2a–b + a  = 63 3a  - b = 63
3a  -   b = 63                │   3a -  B = 63           b = ÷3
3a   - 4b = 0 (-1)          │- 3a  +4b = 0           b = 21
                                                3b = 63
3a – b = 63 3a – 21 = 63 3a = 63 +21 3a = 84 a = 84 ÷3 = 28
Resposta.: Alexandre 28 anos e Luiz 21 anos

17) Tenho o quádruplo da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens, quando tiveres a idade que tenho, a soma das nossas idades será igual a 76 anos.Qual a minha idade? Solução:
I)  Eu = a
II) Tu = b
III) b – ( a – b) = b – a +b = 2b - a
IV) a – ( b – a ) = a  - b + a = 2a - b
V) Quádruplo; a = 4 ( 2b – a ) a = 8b -  4a → a  +  4a – 8b = 0
5a – 8b = 0
VI) soma : 2a– (b – a ) = 76 ¾ 2a– b +a = 76   3a– b = 76
3a  - b = 76 (x 8 )        │ 24a –  8b = 608           a = 608 ÷ 19
5a  - 8b = 0  (x -1)      │- 5a    + 8b = 0              a = 32
                                                19a = 608
b = 5 x 32 = 160 = 20
         8            8
Resposta.: 32 anos e 20anos


18) Atualmente a soma das idades de um casal é 91 anos mais que a soma das idades de seus 9 filhos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos filhos será igual a à soma das idades dos pais? Solução:
A cada ano que passa a idade de cada um vai aumentando de 1 ano
F ilhos =  9 x 1 =     9                                                                             91 ÷ 7 = 13 anos
Pais     =   2 x 1 =   -2
                                7
Resposta.: Daqui a 13 anos

19) Atualmente a soma das idades de um casal é 78 anos mais que a soma das idades de seus oito filhos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos filhos será igual a soma das idades dos pais? Solução:
Filhos  =  8 x 1 =    8                                                                                  78 ÷ 6 = 13
Pais      =  2 x 1 = - 2
                               6
Resposta: daqui a 13 anos

20) Um pai tem atualmente 48 anos e seus três filhos: 30, 20 e 6 anos, respectivamente. Há quantos anos a soma das idades dos filho foi igual a idade do pai? Solução:
Filhos = 3 x 1 =    3
Pai          1 x 1 = - 1
                              2

(30 + 20 + 6) – 48 = 56 48 = 28 – 24 = 4
2                     2      2
Resposta .: Há 4 anos

21)  Três irmãos têm, respectivamente, 15, 24 e 22 anos e o pai 53. Há quantos anos a idade do pai era igual a soma das idades dos três filhos?
Solução:
Filhos = 3 x  1 =   3
Pai      =  1 x 1 = - 1
                             2
( 15 + 24 + 22 ) – 53  = 61 – 538  = 4
             2                             2          2
Resposta daqui a 4 anos.



22) Uma pessoa tem 53 anos e seus quatro filhos têm: 33, 32, 31 e 29. Há quantos anos a idade dessas pessoas foi igual à soma das idades dos filhos?
Solução:
Filhos = 4 x 1 =   4
Pai      = 1x 1 =  - 1
                            3
( 33 + 32+ 31 + 29 ) – 53 = 125 – 53 = 72 = 24
              3                                   3           3
Resposta.: Há 24 anos

23) Um pai e um filho têm juntos 96 anos. Tirando-se 22 anos da idade do pai e acrescentando-os a idade do filho, elas tornam-se iguais. Calcule a idade do pai. Solução:
P = 96 + 22 + 22    P = 140 = 70 anos
                  2                     2
Solução .: 70 anos

24) As idades de duas pessoas somam 120 anos. Subtraindo-se 10 anos da idade da mais velha e acrescentado à da nova as idades tornam-se iguais. Calcule a idade da mais nova. Solução
Mv = 120 + 10 +10 = 140 = 70 anos
                   2                2
Mais nova = 120 – 70 = 50 anos
Resposta. : 50 anos.

25) A soma das idades de um pai e a do filho hoje é 78 anos. Há 9 anos, a idade do pai era três vezes a idade do filho. Calcule a idade do pai.
Solução:
Filho = 3 x 1 (passado)            Também: I )  P + F = 78
Pai = 3 x 7 = 21                                     II) P – 9 = 3 ( F – 9)
3 – 1 = 2
2 x 9  = 18  Filho
3 x 18 = 54  Pai
Resposta.: 54 anos

26) Um pai disse ao filho: Há 7 anos a minha idade era igual a 7 vezes sua: dentro de 3 anos será o triplo. Calcule a idade do filho.Solução
7 x 7 = 49
49 – 7 = 42 anos  idade do pai há 7 anos
Filho = 42 ÷ 7 = 6 anos  idade do filho há 7 anos
42 – 6 = 36 anos  triplo da idade do filho
Filho : 36 ÷ 3 = 12 anos
 Também:
I ) P – 7 = 7 ( F – 7)
II) P + 3 = 3( F +3 )
Resposta . 12 anos

27) Há 7 anos a idade de Samuel era três vezes a idade de Elias e de hoje a 7 anos, será o dobro. Calcule a Idade de Elias
7  x   3 = 21
21 – 7 = 14
14 x 2 = 28
Samuel = 21 + 28 = 49 anos ( hoje)
49 – 7 = 42  anos , dobro da idade de Elias
Elias: 42 ÷ 2 = 21 anos
Também:
I) S – 7 = 3 (E – 7)
II) S + 7 = 2( E +7)
Resposta 21 anos

28) Um pai e um filho têm atualmente o dobro da idade do filho. Há 10 anos a idade era o triplo da idade do filho.Calcule a idade do pai.Solução;
O s 10 anos eram contados tanto para o pai como para o filho.
Pai = 3 x 10 = 30 anos
Filho = 30 – 10 = 20 anos
Pai = 2 x 20 = 40 anos (hoje)
Também:
I)  P = 2F
II) P – 3F = 3(F -10 )
Resposta: 40 anos

29) Um pai tem o quíntuplo da idade do filho. Daqui a 5 anos ele terá o triplo da idade do filho. Calcule a idade do filho. Solução:
5 – 3 = 2  (quíntuplo menos o dobro)
3 x 5 = 15 anos no futuro
15 – 5 = 10 deve ser dividido pela diferença acima
10 ÷ 2 = 5anos
Também:
I ) P = 5F
II) P + 5 = 3(F + 5)

30) Qual a idade de uma pessoa que há dez anos tinha 3/5 da idade que terá daqui a dez anos. Solução
5 x 10 =    50                                                                                             5 – 3 = 2
3 x 10 = + 30                                                                                             80 ÷2 = 40 anos
                 80
Também:
 x – 10 = 3( x + 10)
                       5
Resposta.: 40 anos

31) As idades de duas pessoas estão entre si como 2 está para 3. Há 10 anos esta relação era igual a ¼ . Achar as idades de cada uma. Solução:
1 x 1 0  = 10                                                 90 ÷ ( 2 +3 ) = 90 ÷ 5 = 18 anos ¾ (2 para 3)
4 x 10   =  40                                               (18 x 2 ) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12 anos ¾ ( 2  para 3)
4 x   2   =  8
3 x  10  = 30
3  x 30  = 90
Também:
I) A  = 2
    B     3
II) A – 101
     B -  10     4
Resposta.: 12 anos e 18 anos

32) Um pai tem 30 anos mais do que o filho,se este tivesse nascido dois anos mais tarde sua idade seria atualmente, a terça parte da idade do pai. Calcule a idade atual do filho. Solução.
3 x 2 = 6                                                                                Também:
30 + 6 = 36                                                                            I ) P = F + 30
36 ÷ (3 – 1 ) = 36 ÷ 2 = 18 anos                                           II) F -  2  = P
Resposta.: 18 anos                                                                                   3

33) Meu irmão nasceu 2 anos antes de mim e minha irmã é mais nova 4 anos do que eu. Quando a soma das idades desses meus dois irmãos for 30, que idade teria minha irmã. Solução.
2 +  4  = 6
30 – 6 = 24 anos , dobro da idade de minha irmã
24 ÷ 2 = 12 anos
Também:
I ) A = B – 2
II) C = A – 4
IV) B + C = 30

34) O produto das idades de dois irmãos é tal que seu 1/20 iguala a 3/5 da idade do irmão mais velho, e os seus 4/5 valem o quadrado da idade do irmão mais novo. Calcule quantos anos tem o irmão mais velho? Solução:
3  x 20 = 60 = 12
5   x 1       5

5 x 12 = 60  = 15
    4         4
Também
I) AB  = 3A
    20        5
II) 4A  = B2
      5                  
Resposta: 15 anos

35) Juliano e Amélia têm juntos, a metade da idade de pai. A mãe e Amélia são três anos mais velhas que o pai. O pai e Juliano, juntos têm 43 anos e a mãe e o filho juntos, 38. Qual a idade de cada um ? Solução
Pai = 2 x 2 = 4 anos a mais que o dobro das idades dos filhos.
38 – 4 = 34 anos, idade do pai.
Juliano e Amélia juntos : 34 ÷ 2 = 17 anos
O pai e o Juliano têm juntos 43 anos, mas o pai tem 34, então o Juliano tem:                 43 -34 = 9 anos
A mãe: 38 – 9 = 29 anos
Amélia : 17 – 9 = 8 anos

Também
I)  J + A = P               III) P + J = 43
                  2               IV ) M + J = 38
II) M + A = P + 3
Resposta.: 8 anos, 9 anos, 29 anos e 34 anos
36) A minha idade é formada por dois algarismos de soma 9. Há nove anos, a minha idade tinha os mesmos algarismos em ordem inversa. Diga-me quantos anos eu tenho atualmente? Solução
Quando há inversão de algarismos, nesse caso, subtraímos do 1º e 2º  menos 1
I ) 10 – 1  = 9         dividindo por 9 =   1
II) 10 -  1 = 9         dividindo por 9 = +1
III) 9  soma dos algarismos                    2
Com a soma é 9 e a diferença é 1, então : 9 + 1 = 10  10 ÷ 2 = 5 algarismo das dezenas
9 – 5 = 4 algarismo das dezenas.
Também:
I)    A + B = 9
II)   N1 = 10A + B
III)  N2 = 10B + A
Resposta: o número é 54

37) Um pai tem 49 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o triplo da do filho? Solução:
Aumenta para cada um 1 ano nas idades = 1 + 1 =2
3  x 15 = 45                                                             Também:
49 – 45 = 4                                                               49 +  x = 3 ( 15 + x)
4 ÷ 2 = 2 anos                      
Resposta: 2 anos

38) Um pai tem 32 anos e o filho 4 anos.Depois de quantos anos a do pai será o triplo da do filho? Solução                                                   Também
1 + 1 = 2                                                                 32 + x = 3 ( 4 + x)
3 4 = 12
32 – 12 = 20
20 ÷ 2 = 10 anos
Resposta: 10 anos

39) Há 6 anos eu tinha a metade da idade que terei daqui a 12 anos. Calcule a minha idade. Solução:                                                     Também:
2 x 6 = 12                                                              x – 6 =  x + 12
12 + 12 = 24 anos                                                                   2

40) Uma pessoa tem 31 anos e outra 13. quantos anos a idade da mais velha foi igual ao quádruplo da díade da mais nova. Solução:
4 – 1 = 3                                                               Também:
4 x 13 = 52                                                           31 – x = 4 ( 13 – x )
52 – 31 = 21                            [Obs: 4 – 1 = 3 Porque verbo no passado  há]
21 ÷ 3 = 7 anos
Resposta.: 7 anos

41) Uma pessoa tem35 anos e outra 15. quantos anos a idade da primeira foi igual ao quíntuplo da idade da segunda. Solução:
5 – 1 = 4                                                              Também:
5 x 15 = 75                                                           35 – x = 5 ( 15 – x)
75 – 35 = 40
40 ÷ 4 = 10 anos
Resposta.: 10 anos

42) Tenho 42 anos e meu filho 15. quantos anos a idade do meu filho foi igual a quarta parte da minha idade. Solução:
4 - 1 = 3                                                            Também:
4 x 15 = 60                                                        42 – x  = 15 - x
60 – 42 = 18                                                          4
18 ÷ 3 = 6 anos                                 

43) Um pai tem 55 anos e seus filhos, 9 11 e 13. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual a soma das idades dos filhos. Solução:
Filhos =   3 x 1  =   3
Pai      =   1 x 1  = -1
                               2
55 – ( 9 + 11 + 13 ) = 55 -  33 = 22 =11
               2                       2           2


Resposta.: 11 anos

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