01) Numa escola, ao longo do corredor comprido, estão enfileirados 1.000 armários consecutivamente de 1 a 1.000, com suas portas fechadas. 1.000 alunos da escola, também numerados de 1 a 1.000, resolvem fazer a seguinte brincadeira: o aluno número 1 passa pelo corredor e abre todos os armários; em seguida, o aluno número 2 passa e fecha todos os armários de número par; depois passa o aluno de número 3, inverte a posição das portas de todos os armários "múltiplos de 3", isto é, ele os fecha se estiverem abertos e os abre se estiverem fechados; depois, é a vez do aluno número 4 que inverte a posição das portas dos armários "múltiplos" de 4, e assim sucessivamente. Após a passagem dos 1.000 alunos, qual será o armário de maior número que estará aberto?
Solução:
Alunos:
1- Abre todos os armários;
2 - Fecha os armários de números : 2, 4, 6, 8, 10,...
3 - Inverte os armários de números : 3, 6, 9, 12, 18, 21,...
4 - Inverte os armários de números: 4, 8, 12, 16, 20,......................................................................................................................................................................
1.000 alunos (Fim da brincadeira)
Aberto = A
Fechado = F
A → 1
................................................................................................................................................................
Abertos Sempre em número ímpar
Armário X terminou aberto: Alunos com números divisores de X
X - Tem que possui o número ímpar de divisores positivos. Os expoentes da fatoração de 1.000 tê de ser todos pares.
2ª x 3b x5c... é igual a (a +1).(b + 1).(c +1)...,
que é ímpar se e somente se, se a, b, c...
forem todos pares, ou seja, se e somente se
X for quadrado perfeito.
Se um número é um quadrado perfeito, então ele possui uma quantidade
ímpar de divisores positivos, logo X
é um quadrado perfeito.
X ≤ 1.000
302 = 900
312 = 961
322 = 1.024 > 1.000 → Resposta .: 961
Raiz quadrada de 961 = 31
Agora, resolva este:
Agora, resolva este:
* O problema dos armários
Uma escola tem exatamente 100 armários e 100 estudantes. No primeiro dia de aula os estudantes encontraram-se fora do prédio e planejaram: o primeiro estudante entrará na escola e abrirá todos os armários. O segundo aluno entrará e fechará todos os armlários com números pares (2, 4, 6, 8, 10,... ). O terceiro aluno, então, inverterá o que tiver sido feito a cada 3 armários (no 3°, 6°, 9°, 12°,...), o que significa: ele abrirá se o armário estiver fechado, ou fechará se estiver aberto. O quarto aluno inverterá o que tiver sido feito a cada 4 armários (no 4°, 8°, 12°, 16°,...), e assim por diante. Após todos os alunos terem entrado e realizado suas tarefas, como estará o armário de número 100: aberto ou fechado?
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